Subgrupo

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.^[1]​

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Decimos que un subconjunto ${displaystyle F}$ de un grupo ${displaystyle G}$ es un subgrupo de ${displaystyle G}$ cuando ${displaystyle F}$ es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de ${displaystyle G}$ restringida a los elementos de ${displaystyle F}$.^[2]​

Sean ${displaystyle (G,circ )}$ un grupo y ${displaystyle Hsubset G:H eq emptyset }$. El grupo ${displaystyle (H,circ )}$ se llama Subgrupo de ${displaystyle (G,circ )}$ si y solo si:^[3]​

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:^[4]​

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.^[5]​

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.^[6]​

Dados un subgrupo H de G y algún ${displaystyle ain G}$, definimos la clase lateral izquierda ${displaystyle aH={ah:hin H}}$. Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.

Puesto que a es inversible, la función ${displaystyle varphi :H ightarrow aH}$ dada por ${displaystyle hmapsto ah}$ es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y solo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.^[9]​

Las clases laterales derechas se definen análogamente: ${displaystyle Ha={ha:hin H}}$. Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga: ${displaystyle asim biff b=ha}$ para algún ${displaystyle hin H}$.

El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.^[10]​

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.

Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.