Submatriz

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.

Sea ${displaystyle A}$ una matriz ${displaystyle n imes m}$ y sean ${displaystyle I_{A}={1,2,...,n}}$ y ${displaystyle J_{A}={1,2,...,m}}$ los conjuntos de índices de las filas y columnas de ${displaystyle A}$ respectivamente. Definimos ${displaystyle B}$ una submatriz de ${displaystyle A}$ como la matriz resultante de escoger ${displaystyle I_{B}subseteq I_{A}}$ y ${displaystyle J_{B}subseteq J_{A}}$, donde ${displaystyle I_{B}}$ y ${displaystyle J_{B}}$ serán los índices de las filas y columnas de la matriz ${displaystyle B}$. Es decir, las filas y columnas de ${displaystyle B}$ corresponden a las filas y columnas de ${displaystyle A}$ con los índices en ${displaystyle I_{B}}$ y ${displaystyle J_{B}}$ respectivamente. ^[1]​

Por ejemplo:

En este caso ${displaystyle I_{A}={1,2,3}}$ y ${displaystyle J_{A}={1,2,3,4}}$, si escogemos ${displaystyle I_{B}={1,2}}$ y ${displaystyle J_{B}={1,3,4}}$ obtenemos:

En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz ${displaystyle B}$ sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, ${displaystyle B=A[{1,2};{1,3,4}]}$. De manera general decimos que ${displaystyle A[I_{B};J_{B}]}$ es la submatriz resultante de escoger ${displaystyle I_{B}}$ y ${displaystyle J_{B}}$ como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

Una submatriz es principal cuando se escoge ${displaystyle I_{B}=J_{B}}$, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe ${displaystyle A[I_{B};I_{B}]=A[I_{B}]}$.

Por ejemplo:

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}end{bmatrix}}}$

Tomando ${displaystyle I_{B}={2,3}}$.

${displaystyle mathbf {A} [{2,3}]={egin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}}$

${displaystyle A[{2,3}]}$ es una submatriz principal de ${displaystyle A}$.

Sea ${displaystyle A}$ una matriz cuadrada de orden ${displaystyle n}$ y ${displaystyle I_{A}={1,dots ,n}}$ el conjunto de índices de ${displaystyle A}$, si tomamos ${displaystyle kin I_{A}}$, la matriz principal ${displaystyle A[{1,dots ,k}]}$ es una submatriz principal superior de ${displaystyle A}$. ^[1]​

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}end{bmatrix}}}$

Tomando ${displaystyle k=3}$:

${displaystyle mathbf {A} [{1,2,3}]={egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}}$

${displaystyle A[{1,2,3}]}$ es una submatriz principal superior de ${displaystyle A}$.

Sea ${displaystyle A}$ una matriz cuadrada de orden ${displaystyle n}$ y ${displaystyle I_{A}={1,dots ,n}}$ el conjunto de índices de ${displaystyle A}$, si tomamos ${displaystyle kin I_{A}}$ , decimos que la matriz principal ${displaystyle A[{k,dots ,n}]}$ es una submatriz principal inferior de ${displaystyle A}$. ^[1]​

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}end{bmatrix}}}$

Tomando ${displaystyle k=2}$:

${displaystyle mathbf {A} [{2,3,4}]={egin{bmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{42}&a_{43}&a_{44}end{bmatrix}}}$

${displaystyle A[{2,3,4}]}$ es una submatriz principal inferior de ${displaystyle A}$.