Sucesión de Lucas

En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas, U_n(P,Q) y V_n(P,Q) son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia

Donde P y Q son enteros fijos. cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las Sucesiones de Lucas U_n(P,Q) y V_n(P,Q).

Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, estando ambas estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1. La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.

Los números de Lucas están dados por:

Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase U_n(P,Q) y de la segunda clase V_n(P,Q) Se definen por las relaciones de recurrencia:

y

No es difícil mostrar que para ${displaystyle n>0}$,

Los términos iniciales de la sucesión U_n(P,Q) y V_n(P,Q) se dan en esta tabla:

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas ${displaystyle U_{n}(P,Q)}$ y ${displaystyle V_{n}(P,Q)}$ es:

Tiene la discriminante ${displaystyle D=P^{2}-4Q}$ y las raíces:

Por lo tanto:

Cuando ${displaystyle D eq 0}$, a y b son distintos y uno verifica rápidamente que

De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b como

El caso en que ${displaystyle D=0}$ ocurre exactamente cuando ${displaystyle P=2S{ ext{ y }}Q=S^{2}}$ para algunos enteros S de manera que ${displaystyle a=b=S}$. En este caso se puede encontrar fácilmente qu

Si las sucesiones ${displaystyle U_{n}(P,Q)}$ y ${displaystyle V_{n}(P,Q)}$ tienen discriminante ${displaystyle D=P^{2}-4Q}$, entonces la sucesión basada en ${displaystyle P_{2}}$ y ${displaystyle Q_{2}}$ donde

tienen la misma discriminante: ${displaystyle P_{2}^{2}-4Q_{2}=(P+2)^{2}-4(P+Q+1)=P^{2}-4Q=D}$.

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos: