Sucesión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Si se denota por ${displaystyle a_{n}}$ al término que ocupa la posición ${displaystyle n}$ de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero (${displaystyle a_{1}}$) y de la razón (${displaystyle r}$) mediante la siguiente fórmula llamada término general:

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica (${displaystyle b_{n}}$) definida por las condiciones

llamada ecuación recursiva de orden 1 ^[2]​( ${displaystyle q eq 0}$), ${displaystyle n=1,2,...}$ (${displaystyle q}$ es la razón de la progresión geométrica) ^[3]​

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (${displaystyle a_{n}geq a_{n-1}}$), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (${displaystyle a_{n}leq a_{n-1}}$), constante cuando todos los términos son iguales (${displaystyle a_{n}=a_{n-1}}$) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando ${displaystyle r<0}$).^[4]​

Monotonía en función del primer término, ${displaystyle a_{1}}$, y de la razón, ${displaystyle r}$:^[5]​

Se denota por ${displaystyle S_{n}}$ a la suma de los ${displaystyle n}$ primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

Se puede calcular esta suma a partir del primer término ${displaystyle a_{1}}$ y de la razón ${displaystyle r}$ mediante la fórmula

Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión ${displaystyle r}$.

puesto que ${displaystyle rcdot a_{i}=a_{i+1}}$

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando ${displaystyle S_{n}}$:

De esta manera se obtiene la suma de los ${displaystyle n}$ términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión ${displaystyle a_{n}}$ como:

que expresa la suma de ${displaystyle n}$ términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios ${displaystyle a_{m}}$y ${displaystyle a_{n}}$(ambos incluidos):

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad ${displaystyle |r|<1}$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si ${displaystyle |r|<1}$, ${displaystyle r^{infty }}$ tiende hacia 0, de modo que:

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

El producto de los ${displaystyle n}$ primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón ${displaystyle r}$ (si ${displaystyle a_{1},r>0}$), están en progresión aritmética de diferencia ${displaystyle log r}$, se tiene:

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.