Tensor de Faraday

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-contravariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

${displaystyle mathbf {F} =F^{mu u }={egin{pmatrix}0&-{cfrac {E_{x}}{c}}&-{cfrac {E_{y}}{c}}&-{cfrac {E_{z}}{c}}\{cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\{cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\{cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0end{pmatrix}}qquad {mbox{o bien}}qquad mathbf {F} =F_{mu u }={egin{pmatrix}0&{cfrac {E_{x}}{c}}&{cfrac {E_{y}}{c}}&{cfrac {E_{z}}{c}}\-{cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\-{cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\-{cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0end{pmatrix}}}$

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

${displaystyle A^{alpha }=left({frac {Phi }{c}},mathbf {A} ight)}$

Donde ${displaystyle ,phi }$ y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

${displaystyle ,F=dA}$

Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:

Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

${displaystyle mathbf {E} =- abla phi -{cfrac {partial mathbf {A} }{partial t}},qquad mathbf {B} = abla imes mathbf {A} }$

Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:

${displaystyle F^{01}=partial ^{0}A^{1}-partial ^{1}A^{0}={frac {1}{c}}{frac {partial A_{x}}{partial t}}-left(-{frac {partial (phi /c)}{partial x}} ight)={frac {1}{c}}left[{frac {partial A_{x}}{partial t}}+{frac {partial phi }{partial x}} ight]=-{cfrac {E_{x}}{c}}}$

Igualmente:

${displaystyle F^{02}=-{frac {E_{y}}{c}},qquad F^{03}=-{frac {E_{z}}{c}}}$

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

${displaystyle F^{12}=partial ^{1}A^{2}-partial ^{2}A^{1}=-{frac {partial A_{y}}{partial x}}+{frac {partial A_{x}}{partial y}}=-B_{z},quad F^{13}=B_{y},quad F^{23}=-B_{x}}$

Mediante el tensor métrico ${displaystyle ,g_{mu u }}$ podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

Por tanto

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/c → B y B → −E/c, se obtiene el tensor dual ${displaystyle G^{mu u }}$:

O, bajando índices:

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