Teoría de la bifurcación

La teoría de bifurcaciones es un campo matemático centrado en el estudio de los cambios en la estructura cualitativa o topológica del comportamiento de un conjunto de ecuaciones. La teoría tiene una importancia práctica muy importante en ingeniería y física.

La teoría de la bifurcación estudia el comportamiento de familias de soluciones matemáticas, como por ejemplo las curvas integrales de un campo vectorial, y las soluciones de una familia de ecuaciones diferenciales. Generalmente en referencia a sistemas dinámicos, una bifurcación se da cuando una pequeña variación en los valores de los parámetros de un sistema (parámetros de bifurcación) causa un brusco cambio "cualitativo" o topológico en su comportamiento.^[1]​ Las bifurcaciones pueden producirse tanto en sistemas continuos como en sistemas discretos.

Las bifurcaciones locales son aquellas que pueden ser analizadas completamente mediante cambios en las propiedades de la estabilidad local —bien sean éstas de puntos de equilibrio, órbitas locales u otros conjuntos invariantes— conforme los parámetros atraviesan umbrales críticos. Las bifurcaciones locales más típicas son:

Estos diferentes tipos de bifurcaciones locales posibles son puntos críticos de un sistema cuyo comportamiento específico depende de las derivadas superiores de dicho sistema. De hecho los tipos de comportamientos cualitativos del sistema en puntos no ordinarios pueden clasificarse en función del valor de esas derivadas. Dado un sistema no lineal de ecuaciones de la forma:

(*)${displaystyle mathbf {F} (mathbf {u} ,phi ,mathbf {v} )=0,qquad mathbf {F} :mathbb {R} ^{n} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^{p} o mathbb {R} ^{k}}$

Donde:

Un punto de bifurcación es un punto crítico ${displaystyle scriptstyle (mathbf {u} _{c},phi _{c},mathbf {v} )}$ del sistema anterior, que cumple algunas condiciones adicionales, para formular esas condiciones se construye la forma reducida de Liapunov-Schmidt-Koiter ${displaystyle { ilde {F}}}$ del sistema anterior:^[2]​

(**)${displaystyle { ilde {F}}(w,{ ilde {phi }},mathbf {v} )={oldsymbol {xi }}^{T}mathbf {F} (mathbf {u} _{c}+w{oldsymbol {eta }}+sum _{j}psi _{j}(w,{ ilde {phi }},mathbf {v} ),phi _{c}+{ ilde {phi }},mathbf {v} )=0}$

Un punto de silla de montar, también llamado punto de retorno, punto límite o "bifurcación" tangencial. Es un punto crítico donde:

${displaystyle {frac {partial { ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial w}}=0,qquad {frac {partial { ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial { ilde {phi }}}} eq 0}$

Un punto de bifurcación propiamente dicho es un punto crítico donde se cumple que:

${displaystyle {frac {partial { ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial w}}=0,qquad {frac {partial { ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial { ilde {phi }}}}=0}$

Las bifurcaciones pueden clasificarse en términos de las derivadas superiores:

${displaystyle {egin{cases}{frac {partial ^{2}{ ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial w^{2}}} eq 0&{mbox{(transcritica)}}\{frac {partial ^{2}{ ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial w^{2}}}=0, {frac {partial ^{3}{ ilde {F}}(0,0,mathbf {v} )}{partial w^{3}}} eq 0&{mbox{(tridente)}}end{cases}}}$

Las bifurcaciones globales ocurren normalmente en mayores conjuntos invariantes del sistema, los cuales "colisionan" entre ellos o con los puntos de equilibrio del sistema. Por tanto, no pueden ser detectados de forma exclusiva mediante un análisis de los puntos de equilibrio.

Las bifurcaciones globales más típicas son:

---