Teoría de la estabilidad

En matemáticas, la teoría de estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina cómo difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales.

La estabilidad es muy importante en física y ciencias aplicadas, ya que en general en los problemas prácticos las condiciones iniciales nunca se conocen con toda precisión, y la predictibilidad requiere que pequeñas desviaciones iniciales, no generen comportamientos cualitativamente muy diferentes a corto plazo. Cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la diferencia de valores iniciales, se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad.

Debido a que toda ecuación diferencial puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por:

${displaystyle {dot {mathbf {x} }}=f(mathbf {x} (t)),qquad { ext{siendo}}: mathbf {x} (0)=mathbf {x} _{0}, f(mathbf {x} _{0})=0}$

Donde ${displaystyle mathbf {x} (t)in {mathcal {D}}subseteq mathbb {R} ^{n}}$ es el vector de estado del sistema, ${displaystyle {mathcal {D}}}$ un conjunto abierto que contiene al origen y ${displaystyle f:{mathcal {D}} ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ una función continua. Sin pérdida de generalidad, se puede asumir que el origen es un punto de equilibrio (si el punto de equilibrio fuera otro punto se puede hacer un cambio de variable y redefinir la función f para que coincida con el origen):

Conceptualmente, las definiciones anteriores se pueden interpretar como que:

La estabilidad numérica técnicamente no forma parte de la teoría de la estabilidad, puesto que no analiza la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la estabilidad del algoritmo usado para encontrar una de las soluciones de dicho sistema. Sin embargo, el propio algoritmo numérico de resolución puede ser visto a veces como un sistema dinámico discreto.

La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del movimiento produzca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dichas perturbaciones. Para sistemas deterministas descritos por ecuaciones diferenciales la estabilidad del dicho sistema de ecuaciones obviamente implica la estabilidad del sistema.