Teorema de Apolonio

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)

Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. 1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces:

${displaystyle a^{2}+b^{2}={frac {1}{2}};c^{2}+2;M^{2}}$

Existen (o pueden existir) razones para no exponer las demostraciones originales, una de ellas sería que los documentos de dichas demostraciones no hayan llegado hasta nuestros días. Por otra parte, al existir en nuestros días más y mejores herramientas matemáticas, puede optarse (aplicando el principio de parsimonia) por exponer solo las demostraciones más sencillas.

Al igual que muchos otros teoremas este puede ser demostrado de múltiples maneras, algunas de ellas serían:

Demostración^[2]​ por medio del teorema del coseno. Sea un triángulo euclidiano cualquiera de lados a, b y c, para cuyo lado c se ha trazado la mediana correspondiente M_c (línea verde en la fig. G&S), donde (por definición de mediana) m_c = n_c = ½ c. La mediana M_c forma con el lado c los ángulos φ y φ', siendo que φ abarca al lado b y φ' abarca al lado a, entonces de acuerdo al teorema del coseno podemos expresar:

(gs01)${displaystyle b^{2}=m_{c}^{2}+M_{c}^{2}-2;m_{c};M_{c};cos(varphi )}$

(gs02)${displaystyle a^{2}=n_{c}^{2}+M_{c}^{2}-2;n_{c};M_{c};cos(varphi ')}$

Reemplazando en (gs01) m_c → ½ c y en (gs02) n_c → ½ c y cos φ'  →  -cos φ (por ser φ' y φ ángulos suplementarios), y simplificando obtenemos:

(gs03)${displaystyle b^{2}={frac {c^{2}}{4}}+M_{c}^{2}-2;{frac {c}{2}};M_{c};cos(varphi )}$

(gs04)${displaystyle a^{2}={frac {c^{2}}{4}}+M_{c}^{2}+2;{frac {c}{2}};M_{c};cos(varphi )}$

Notar que los últimos términos de los miembros derechos de las ecuaciones (gs03) y (gs04) solo difieren en signo, luego sumando m.a.m. dichas ecuaciones y simplificando arroja:

(gs05)${displaystyle a^{2}+b^{2}={frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}$

  , ∎.^[3]​

La expresión anterior (gs05) es la conclusión final del teorema de Apolonio realizada para la mediana M_c, como se trata de una demostración general, con razonamientos similares se puede obtener las expresiones equivalentes para las restantes medianas M_a y M_b, las cuales serían:

(gs06)${displaystyle b^{2}+c^{2}={frac {a^{2}}{2}}+2M_{a}^{2}}$

(gs07)${displaystyle a^{2}+c^{2}={frac {b^{2}}{2}}+2M_{b}^{2}}$

De las expresiones (gs05), (gs06) y (gs07) del la demostración (Godfrey y Siddons) del teorema de Apolonio (teorema de las medianas) pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos , a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas) . La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla ):