Teorema de Cantor

El teorema de Cantor, de Georg Cantor, es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:

El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.

El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2ⁿ elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:

Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.

Consideremos una función cualquiera ${displaystyle f:A o {mathcal {P}}(A)}$, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un subconjunto particular B definido como:

Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo que existe ${displaystyle ain A:B=f(a)}$, puesto que B es un subconjunto de A. Ahora podemos distinguir dos casos:

En ambos casos llegamos a una contradicción, por tanto no existe dicha a y entonces f (que es una función cualquiera) no es sobreyectiva, como queríamos demostrar.