Teorema de Clairaut

En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

Sea ${displaystyle f:A o mathbb {R} }$ con ${displaystyle Asubseteq mathbb {R} ^{n}}$ un conjunto abierto tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en ${displaystyle A}$ entonces para cualquier punto ${displaystyle (a_{1},a_{2},dots ,a_{n})in A}$ se cumple que

Sea ${displaystyle f:Omega o mathbb {R} }$ una función de dos variables definida en un conjunto abierto ${displaystyle Omega subseteq mathbb {R} ^{2}}$, si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en ${displaystyle Omega }$, esto es, ${displaystyle fin {mathcal {C}}^{2}(Omega )}$ entonces estas son iguales, es decir:

Sea

Y sean ${displaystyle varepsilon ,}$ , ${displaystyle delta >0,}$ reales tales que ${displaystyle (x_{0}-varepsilon ,x_{0}+varepsilon ) imes (y_{0}-delta ,y_{0}+delta )subset Omega ,}$. Lo cual es posible, ya que ${displaystyle Omega ,}$ es un abierto de ${displaystyle mathbb {R} ^{2},}$.

Se definen dos funciones ${displaystyle F,}$ y ${displaystyle G,}$

de modo que:

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

y análogamente:

con ${displaystyle xi _{i}in (0,t),}$ , ${displaystyle sigma _{i}in (0,s),}$, por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen ${displaystyle t,s>0,}$.

Luego haciendo tender ${displaystyle t,}$ y ${displaystyle s,}$ a ${displaystyle 0,}$ se logra la demostración.