Teorema de Cochran

En estadística, el teorema de Cochran, creado por William G. Cochran, es un teorema utilizado para justificar los resultados relacionados con las distribuciones de probabilidad de estadísticas que se utilizan en el análisis de varianza.^[1]​^[2]​

Sean ${displaystyle U_{1},U_{2},dots ,U_{n}}$ variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas y que existen matrices semipositivas definidas ${displaystyle B^{(1)},B^{(2)},dots ,B^{(k)}}$ con

y supóngase que ${displaystyle r_{1}+r_{2}+cdots +r_{k}=N}$ donde ${displaystyle r_{i}}$ es el rango de ${displaystyle B^{(i)}}$, si escribimos

entonces ${displaystyle Q_{i}}$ es una forma cuadrática entonces el teorema de Cochran enuncia que las ${displaystyle Q_{i}'s}$ con ${displaystyle i=1,2,dots ,N}$ son independientes y cada ${displaystyle Q_{i}}$ tiene una distribución Chi-Cuadrada con ${displaystyle r_{i}}$ grados de libertad, esto es, ${displaystyle Q_{i}sim chi _{r_{i}}^{2}}$.

Sean ${displaystyle Ysim N_{n}(0,sigma ^{2}I_{n})}$ un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde ${displaystyle I_{n}}$ denota la matriz identidad de tamaño ${displaystyle n imes n}$, y ${displaystyle A_{1},A_{2},dots ,A_{k}}$ matrices simétricas de tamaño ${displaystyle n imes n}$ con

entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:

Para estimar la varianza ${displaystyle sigma ^{2}}$, un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal

el teorema de Cochran demuestra que

y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que