Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Dirichlet. Este teorema sobre la distribución de los números primos en ${displaystyle mathbb {N} }$, fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce.

Sea ${displaystyle a,,din mathbb {N} }$ tal que el máximo común divisor ${displaystyle operatorname {mcd} (a,d)=1}$, entonces la progresión aritmética ${displaystyle a_{n}=a+ncdot d}$ contiene infinitos números primos.

Esto quiere decir que los números a+nd forman una progresión aritmética

en la que hay infinitos números primos, o dicho de otra manera, hay infinitos números primos congruentes con a módulo d.

Por ejemplo, el teorema asegura que hay una cantidad infinita de números primos que terminen en 7, ya que los números que terminan en 7 forman una progresión aritmética (7, 17, 27, 37, ...) es decir, es una sucesión de números de la forma a+nd con a=7 y d=10, siendo estos primos entre sí, luego su máximo común divisor es 1.

El enunciado anterior esta formulado para la base decimal o base 10 pero se puede extender a diferentes bases.

${displaystyle Sea,a,bin mathbb {N} ,,,,b,una,base,numerica,,mcd(a,b)=1}$

Siempre que a sea ${displaystyle ain {2,3,...,(b-1)}}$ es decir, a está comprendida entre el menor número primo, 2, y el número menor inmediato a la base, obtendremos distintas clases de congruencias en dicha base.

Es decir, aquellos número coprimos con la base b serán válidos para verificar que ${displaystyle a_{n}=a+n*b}$ ,solo es necesario comprobar con las primeras clases pues, tomando el ejemplo de la base 10

${displaystyle mcd(7,10)=1}$ podemos afirmar que en la sucesión 17, 27, 37... habrá números primos, al igual con la sucesión de la clase del 1,3 y 9 pero sería redundante aplicarlo a la clase del 17 que esta contenida a su vez en la del 7.

De aquí se puede deducir aplicando la función ${displaystyle phi }$ de Euler para la base b, habrá 'd' distintas clases de equivalencias.

En la base decimal

${displaystyle phi (10)=4}$ clases de equivalencia distintas que son 1,3,7,9 es decir, todos los números acabados en esas cifras o que sean pertenecientes a su clase de equivalencia podrán ser números primos.

Esto se debe a que la función de Euler se puede utilizar para calcular la cantidad de número coprimos a un número dado, en el caso del 10 son 4 número coprimos.

Para ilustrar el teorema extendido a bases numéricas diferentes tomemos el ejemplo de la base 10 o decimal.

cuando hacemos una tabla que contiene a los números naturales nos fijamos

que solo los número acabados en 1, 3, 7 o 9 pueden ser número primos (a excepción del 2 y 5) pues todos los demás que acaben en cifra par o 5 serán múltiplos de estos números

Esto es fácilmente visualizable pues el 10 esta compuesto por 2 y 5; ${displaystyle 10=2*5}$

En este caso tenemos 4 clases de equivalencias que se corresponden al residuos 1, 3, 7, 9 congruentes con módulo 10

${displaystyle Xequiv 1(mod10)}$

${displaystyle Xequiv 3(mod10)}$

${displaystyle Xequiv 7(mod10)}$

${displaystyle Xequiv 9(mod10)}$

Cualquier X que verifique dicha congruencia podrá ser número primo, es decir, si un número no cumple con lo anterior podemos afirmar que es imposible que sea número primo.

Una conclusión que se puede extraer es que para todas las clases tendrán un número aproximado de primos, es decir, que dado un número primo aleatorio las probabilidades de que pertenezca a una clase o a otra son las mismas por tanto si fuésemos añadiendo números primos sucesivos observaríamos que se distribuyen equitativamente entre la clase del 1, 3, 7, 9 para la base 10 y esto se puede aplicar a cualquier base distinta.

De aquí se puede concluir que las distribuciones de números primos suelen tener un aspecto uniforme esto es fácilmente observable en distintas representaciones gráficas en las cuales los números primos tienen a formar grupos pero no es resultado de una propiedad de los números primos sino que a la hora de obtener diferentes clases de equivalencia los número primos se agrupan en las clases que son coprimas con la base en la cual se representa.

La demostración del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como funciones-L de Dirichlet) y varios resultados sobre aritmética de números complejos y es suficientemente compleja como para que algunos textos clásicos de teoría de números decidan excluirla de su repertorio de demostraciones.^[1]​