Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

Una función ${displaystyle f=f(x,y,z),}$ se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario ${displaystyle lambda ,}$:

${displaystyle f(lambda x,lambda y,lambda z)=lambda ^{k}f(x,y,z),}$

Escribiendo ${displaystyle scriptstyle f=f(x_{1},ldots ,x_{n})}$ y ${displaystyle scriptstyle mathbf {x} =(x_{1},ldots ,x_{n})}$

diferenciando la ecuación con respecto a ${displaystyle alpha ,}$ encontramos, aplicando la regla de la cadena, que

Así que:

En concreto, eligiendo ${displaystyle alpha =1}$, la anterior ecuación puede reescribirse como:

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo ${displaystyle f=f(x_{1},ldots ,x_{n})}$ y diferenciado la ecuación

${displaystyle f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k}f(mathbf {x} )}$

con respecto a ${displaystyle x_{i},}$, encontramos por la regla de la cadena que:

${displaystyle {frac {partial }{partial alpha x_{i}}}f(alpha mathbf {x} ){frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x_{i}}}(alpha x_{i})=alpha ^{k}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} ){frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})}$

Y por tanto:

${displaystyle alpha {frac {partial }{partial alpha x_{i}}}f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

Y finalmente:

${displaystyle {frac {partial }{partial alpha x_{i}}}f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k-1}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

Si la función de estado termodinámica es: