Teorema de Gerschgorin

El teorema de Gerschgorin es utilizado en álgebra lineal para encontrar una cota de los autovalores de una matriz compleja (esto incluye también a las reales) de orden ${displaystyle n imes n}$. Fue publicado por el matemático soviético S.Gerschgorin en 1931.^[1]​

Dada una matriz ${displaystyle A=(a_{ij})in M_{n}(mathbb {C} )}$ se definen los círculos ${displaystyle D_{i}={zin C/|z-a_{ii}|leq r_{i}},i=1...n}$ , con centro en ${displaystyle a_{ii}}$ y radio ${displaystyle r_{i}=sum _{j eq i}|a_{ij}|}$,${displaystyle j=1...n}$.

Teorema. Los valores propios de la matriz ${displaystyle A}$ se encuentran en los discos de Gerschgorin. Cada componente conexa formada por ${displaystyle s}$ discos tendrá ${displaystyle s}$ valores propios reales o complejos.

Demostración. Sea ${displaystyle lambda }$ un valor propio de ${displaystyle A}$ y ${displaystyle x}$ un vector propio asociado a ${displaystyle lambda }$. Supongamos que la componente de mayor valor absoluto de ${displaystyle x}$ es la ${displaystyle jmath }$, es decir, ${displaystyle |x_{j}|=Max{|x_{k}|}}$, ${displaystyle k=1...n}$. Entonces al multiplicar la fija j de la matriz ${displaystyle A}$ por el vector propio ${displaystyle x}$, se tiene:

${displaystyle a_{j1}x_{1}+...+a_{jn}x_{n}=lambda x_{j}Longrightarrow |(a_{jj}-lambda )x_{j}|=|sum _{k=1,k eq j}^{n}a_{jk}x_{k}|Longrightarrow |a_{jj}-lambda ||x_{j}|leq sum _{k=1,k eq j}^{n}|a_{jk}||x_{k}|leq sum _{k=1,k eq j}^{n}|a_{jk}||x_{j}|=|x_{j}|sum _{k=1,k eq j}^{n}|a_{jk}|Longrightarrow |a_{jj}-lambda |leq sum _{k=1,k eq j}^{n}|a_{jk}|=r_{j}}$por tanto ${displaystyle lambda }$ se encuentra en el disco de Gerschgorin ${displaystyle D_{j}}$.