Teorema de Mordell-Weil

Teorema de Mordell-Weil nació en x.

El teorema de Mordell afirma que si ${displaystyle E:=y^{2}=f(x)}$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que ${displaystyle f}$ y ${displaystyle df}$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales ${displaystyle E(mathbb {Q} )}$ es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo a el producto ${displaystyle r}$ veces de ${displaystyle mathbb {Z} }$ (a ${displaystyle r}$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. ${displaystyle E(mathbb {Q} )cong overbrace {mathbb {Z} oplus ...oplus mathbb {Z} } ^{r;;veces}oplus {frac {mathbb {Z} }{p_{1}^{lambda _{1}}mathbb {Z} }}oplus ...oplus {frac {mathbb {Z} }{p_{s}^{lambda _{s}}mathbb {Z} }}}$

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo ${displaystyle E(mathbb {Q} )}$ va a ser isomorfo a ${displaystyle mathbb {Q} }$ con la suma o ${displaystyle mathbb {Q} ^{*}}$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.