Teorema de Rolle

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.^[1]​

Fue establecido en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719).

Si ${displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} }$ es una función continua en un intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$ diferenciable en el intervalo abierto ${displaystyle (a,b)}$ y ${displaystyle f(a)=f(b)}$ entonces existe al menos un punto ${displaystyle cin (a,b)}$ tal que

Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).

La demostración es muy similar si es el mínimo el que se alcanza en ${displaystyle (a,b)}$.

En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$, es diferenciable en ${displaystyle (a,b)}$ y los valores que toma la función en los puntos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son iguales, es decir, ${displaystyle f(a)=f(b)}$. Existe al menos un punto ${displaystyle cin (a,b)}$ en el cual la derivada de la función es igual a cero, esto es, ${displaystyle f'(c)=0}$. Vale observar que ${displaystyle c}$ es distinto de ${displaystyle a}$ y de ${displaystyle b}$. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).

En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:

El punto máximo es igual a ${displaystyle f(a)}$ y ${displaystyle f(b)}$ y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es convexa. El punto mínimo es ${displaystyle m=f(c)}$ y la derivada de la función en este punto es 0.

El punto mínimo es igual a ${displaystyle f(a)}$ y ${displaystyle f(b)}$ y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava. El punto máximo es ${displaystyle M=f(c)}$ y la derivada de la función en este punto es 0.

Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a ${displaystyle f(a)}$ y ${displaystyle f(b)}$. Esto significa que dentro del intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$ la función alcanza un punto máximo M = f(c₂) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c₁) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c₁) = 0 y f '(c₂) = 0.

Al matemático indio Bhāskara II (1114–1185) se le atribuye el conocimiento del teorema de Rolle.^[2]​ En 1691, Michel Rolle publicó la primera demostración formal conocida, que no usa el cálculo diferencial. En 1834, el alemán Moritz Wilhelm Drobisch y el italiano Giusto Bellavitis en 1846 fueron los primeros en usar el nombre de «teorema de Rolle».^[3]​