Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) ${displaystyle [a,b]}$ entonces hay al menos dos puntos x₁, x₂ pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir ${displaystyle f(x_{1})leq f(x)leq f(x_{2})}$, para cualquier ${displaystyle xin [a,b]}$.

Como ${displaystyle f([a,b])}$ está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto d_n en [a,b] tal que M – 1/n < f(d_n). Esto genera una sucesión {d_n} según vamos dando valores naturales a n. Como M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(d_n) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(d_n)} converge a M.

Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {${displaystyle d_{n_{k}}}$}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Como f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f(${displaystyle d_{n_{k}}}$)} converge a f(d). Pero {f(d_nk)} es una subsucesión de {f(d_n)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.

La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a esta. ∎

El teorema de Weierstrass sigue siendo válido para funciones definidas sobre un espacio topológico con valores en los números reales. En este caso el teorema se puede enunciar como sigue:

Sea ${displaystyle (X, au )}$ un espacio topológico y ${displaystyle Ksubseteq X}$ un conjunto compacto. Si ${displaystyle f:K ightarrow mathbb {R} }$ es una función continua entonces existen ${displaystyle x_{1},x_{2}in K}$ tales que ${displaystyle f(x_{1})leq f(x)leq f(x_{2})}$ para cualquier ${displaystyle xin K}$.

El hecho clave en la demostración de esta versión del teorema está en que las funciones continuas envían conjuntos compactos en conjuntos compactos.

También se puede generalizar el teorema a funciones con codominio distinto de ${displaystyle mathbb {R} }$, en este caso el teorema se enuncia de la siguiente forma:

Sea ${displaystyle (V,||cdot ||)}$ un espacio vectorial normado, ${displaystyle (X, au )}$ un espacio topológico y ${displaystyle Ksubseteq X}$ un conjunto compacto. Si ${displaystyle f:K ightarrow V}$ es una función continua entonces existen ${displaystyle x_{1},x_{2}in K}$ tales que ${displaystyle ||f(x_{1})||leq ||f(x)||leq ||f(x_{2})||}$ para cualquier ${displaystyle xin K}$.

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