Teorema de la Base de Hilbert

En Matemáticas, el teorema de la base de Hilbert o teorema fundamental de Hilbert toma su nombre de David Hilbert que fue el primero en probarlo en 1888.

Sea ${displaystyle A}$ un anillo conmutativo con 1 (puede ser 1=0, entonces ${displaystyle A={0}}$). Se dice que ${displaystyle A}$ es noetheriano si todo ideal de ${displaystyle A}$ está finitamente generado. Es fácil probar que son equivalentes:

Si

${displaystyle I_{0}subseteq I_{1}subseteq cdots subseteq I_{n}subseteq cdots }$

es una cadena de ideales, entonces existe ${displaystyle N}$ tal que

${displaystyle I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=cdots }$.

Teorema. Si ${displaystyle A}$ es noetheriano, entonces ${displaystyle A[X]}$ es noetheriano.

Corolario. Si ${displaystyle A}$ es noetheriano, entonces ${displaystyle A[X_{1},dots ,X_{n}]}$ es noetheriano.

El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre ${displaystyle n}$.