Teorema de la función implícita

En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes, bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.

Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma ${displaystyle F(x,y)=0}$, en vez de estarlo en su forma explícita, ${displaystyle y=f(x)}$, más habitual. Dada la ecuación ${displaystyle F(x,y)=0}$ (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar ${displaystyle y=f(x)}$.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región o un abierto de ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ entre las variables x e y:

${displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0,}$

Es decir, el teorema establece que existe una función ${displaystyle y=f(x)}$que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.

Antes de enunciar el teorema, considere la función

Si consideramos la ecuación ${displaystyle f(x,y)=0}$, entonces la función admite como preimágenes todos los vectores ${displaystyle (x,y)}$ que resuelven esta ecuación: ${displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=0}$. Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero sí en un entorno de ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$. (El único vector factible ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$ en la preimagen es ${displaystyle (0,0)}$).

Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:

${displaystyle {egin{cases}xz^{3}+y^{2}u^{3}=1\2xy^{3}+u^{2}z=0end{cases}}}$

Puede verse que si para valores de ${displaystyle (z,u)}$ cercanos al punto ${displaystyle (0,1)}$ existen dos funciones ${displaystyle x=f_{1}(z,u)}$ e ${displaystyle y=f_{2}(z,u)}$ tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:

${displaystyle left{{egin{array}{lcr}f_{1}(z,u)z^{3}+f_{2}^{2}(z,u)u^{3}&=&1\2f_{1}(z,u)f_{2}^{3}(z,u)+u^{2}z&=&0end{array}} ight.}$

El enunciado general es como sigue:

Sean ${displaystyle scriptstyle f:Asubseteq mathbb {R} ^{m+n} ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ una función continuamente diferenciable y ${displaystyle scriptstyle (a,b)in mathbb {R} ^{m+n}}$ cualquier vector tal que ${displaystyle scriptstyle f(a,b)=0}$ . Considere ${displaystyle scriptstyle (x,y)in mathbb {R} ^{m+n}}$ y defina la matriz jacobiana ${displaystyle scriptstyle DF(a,b)=[D_{x}f(a,b),D_{y}f(a,b)]}$ y sobre esta considere que la submatriz que define ${displaystyle scriptstyle [D_{y}f(a,b)]}$ es invertible. Entonces existen los conjuntos abiertos ${displaystyle scriptstyle Vsubseteq mathbb {R} ^{m+n}}$ y ${displaystyle scriptstyle Wsubseteq mathbb {R} ^{m}}$ con ${displaystyle scriptstyle (a,b)in V}$ y ${displaystyle scriptstyle ain W}$ tales que para cada ${displaystyle scriptstyle xin W}$ existe un único ${displaystyle scriptstyle y}$ tal que ${displaystyle scriptstyle (x,y)in V}$ y ${displaystyle scriptstyle f(x,y)=0}$ lo que define una función ${displaystyle scriptstyle g:W ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ que es continua y diferenciable y que además satisface

${displaystyle f(x,g(x))=0,quad forall xin W}$

además

${displaystyle Dg(x)=-[mathbf {D} _{y}f(x,g(x))]^{-1}mathbf {D} _{x}f(x,g(x))quad xin W}$

donde ${displaystyle scriptstyle g(a)=b}$.

La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función de manera implícita en la ecuación ${displaystyle F(x,y)=0}$, si queremos calcular la derivada de y respecto de x, ${displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)}$, debemos considerar a ${displaystyle y=fleft(x ight)}$ como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la ecuación ${displaystyle F(x,y)=0}$ queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

${displaystyle F_{x}'+F_{y}'cdot f'(x)=0}$

Es decir que la derivada buscada es ${displaystyle f'(x)=-(F_{y}')^{-1}F_{x}'}$.

Obtener la derivada de:

El término ${displaystyle 6x^{2}y}$ Se puede considerar que son dos funciones, ${displaystyle 6x^{2}}$ y ${displaystyle y}$ por lo que se derivara como un producto:

El término ${displaystyle 5y^{3}}$ se deriva como:

El término ${displaystyle 3x^{2}}$ se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

Para el término ${displaystyle x^{2}y^{2}}$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando

Factorizando respecto a ( ${displaystyle {frac {dy}{dx}}}$ ) los valores son:

Finalmente despejando ${displaystyle {frac {dy}{dx}}}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

Para una colección de ejemplos: