Teorema de los tres momentos

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática. Fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación:^[1]​

(1)${displaystyle M_{k-1}L_{k}+2M_{k}(L_{k}+L_{k+1})+M_{k+1}L_{k+1}=-6left({frac {Omega _{k}D_{k}}{L_{k}}}+{frac {Omega _{k+1}d_{k+1}}{L_{k+1}}} ight),}$,

donde:

(2)

(3)

Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de puentes, viga y otros elementos con una carga uniforme es un caso particular del teorema de los tres momentos:

${displaystyle M_{k-1}L_{k}+2M_{k}(L_{k}+L_{k+1})+M_{k+1}L_{k+1}=-left({frac {qL_{k}^{3}}{4}}+{frac {qL_{k+1}^{3}}{4}} ight)}$

Las fórmulas integrales (2) y (3) no resultan cómodas en el caso general, sin embargo, para los casos más frecuentes de carga es posible calcular el área del diagrama de momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores son:

El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un empotramiento a la izquierda y otro apoyo simple a la derecha, el teorema de los dos momentos establece que la relación entre ambos es:

(4a)${displaystyle 2M_{k}+M_{k+1}=-6left({frac {Omega _{k+1}d_{k+1}}{L_{k+1}^{2}}} ight)}$

Expresión que puede obtenerse como caso límite del teorema de los tres momentos anterior haciendo ${displaystyle Omega _{k}=0,}$ y ${displaystyle L_{k} o 0,}$.

Si el empotramiento está a la derecha y el apoyo simple a la izquierda la expresión es:

(4b)${displaystyle M_{k-1}+2M_{k}=-6left({frac {Omega _{k}D_{k}}{L_{k}^{2}}} ight)}$

Que también se obtiene de la expresión de los tres momentos haciendo ${displaystyle Omega _{k+1}=0,}$ y ${displaystyle L_{k+1} o 0,}$

Una vez determinados los momentos hiperestáticos con ayuda del teorema de los tres momentos el cálculo de reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede hacer fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:

(5)${displaystyle R_{k}=overbrace {left({frac {M_{k-1}-M_{k}}{L_{k}}}+{mathcal {R}}_{iso}^{(k)+} ight)} ^{izquierda(V_{k}^{-})}+overbrace {left({frac {M_{k+1}-M_{k}}{L_{k+1}}}+{mathcal {R}}_{iso}^{(k+1)-} ight)} ^{derecha(V_{k}^{+})}}$

Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser inexistente. Y donde:

Obviamente:

${displaystyle {mathcal {R}}_{iso}^{(k)-}=left({frac {d{mathcal {M}}_{iso}^{(k)}}{dx}} ight)_{x=0},qquad {mathcal {R}}_{iso}^{(k)+}=left({frac {d{mathcal {M}}_{iso}^{(k+1)}}{dx}} ight)_{x=L_{k+1}}}$

${displaystyle M_{A}L+2M_{B}(L+L)+M_{C}L=-6left({frac {Omega _{AB}L}{2L}}+{frac {Omega _{BC}L}{2L}} ight)}$

Teniendo en cuenta que en este caso ${displaystyle scriptstyle M_{A}=M_{C}=0}$ por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente (${displaystyle scriptstyle Omega _{AB}=Omega _{BC}=qL^{3}/12}$) y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

${displaystyle M_{B}=-{frac {qL^{2}}{8}}}$

y el diagrama de momentos flectores es como el de la figura de la derecha, y viene dado por:

${displaystyle M_{fz}(x)={egin{cases}-{frac {q}{8}}Lx+{frac {q}{2}}x(L-x)&0leq xleq L\-{frac {q}{8}}L(2L-x)+{frac {q}{2}}x(3L-x)-qL^{2}&Lleq xleq 2Lend{cases}}}$

El máximo momento flector positivo se obtiene buscando los puntos para los cuales la derivada de la función anterior se anula ${displaystyle scriptstyle x=3L/8}$ y ${displaystyle scriptstyle x=13L/8}$ donde:

${displaystyle M_{max}^{+}={frac {9}{128}}qL^{2}approx 0,0703qL^{2}}$

Las reacciones en los apoyos pueden calcularse fácilmente mediante las ecuaciones (5):

${displaystyle {egin{cases}R_{A}={cfrac {{frac {-qL^{2}}{8}}-0}{L}}+{cfrac {qL}{2}}={cfrac {3qL}{8}}\R_{B}=left({cfrac {0-{frac {-qL^{2}}{8}}}{L}}+{cfrac {qL}{2}} ight)+left({cfrac {0-{frac {-qL^{2}}{8}}}{L}}+{cfrac {qL}{2}} ight)={cfrac {5qL}{8}}+{cfrac {5qL}{8}}={cfrac {5qL}{4}}\R_{C}={cfrac {{frac {-qL^{2}}{8}}-0}{L}}+{cfrac {qL}{2}}={cfrac {3qL}{8}}end{cases}}}$

${displaystyle M_{A}L+2M_{B}(L+L)+M_{C}L=-6left({frac {Omega _{AB}L}{2L}}+{frac {Omega _{BC}L}{2L}} ight)}$

Teniendo en cuenta que en este caso ${displaystyle scriptstyle M_{A}=M_{C}=0}$ por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente (${displaystyle scriptstyle Omega _{AB}=FL^{2}/8, Omega _{BC}=0}$) y substituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

${displaystyle M_{B}=-{frac {3FL}{32}}}$

El momento flector máximo se da en el primer vano y puede ser calculado como:

${displaystyle M_{max}={frac {M_{B}}{2}}+{frac {FL}{4}}=-{frac {3FL}{64}}+{frac {FL}{4}}=+{frac {13FL}{64}}}$

y el diagrama de momentos flectores es como el de la figura de la derecha. Las reacciones en los apoyos calculadas mediante las ecuaciones de (5):

${displaystyle {egin{cases}R_{A}={cfrac {{frac {-3FL}{32}}-0}{L}}+{cfrac {F}{2}}={cfrac {13F}{32}}\R_{B}=left({cfrac {0-{frac {-3FL}{32}}}{L}}+{cfrac {F}{2}} ight)+left({cfrac {0-{frac {-3FL}{32}}}{L}}+0 ight)={cfrac {19F}{32}}+{cfrac {3F}{32}}={cfrac {11F}{16}}\R_{C}={cfrac {{frac {-3FL}{32}}-0}{L}}+0=-{cfrac {3F}{32}}end{cases}}}$