Teorema del punto fijo de Kakutani

En análisis matemático el teorema del punto fijo de Kakutani (llamado así en honor a Shizuo Kakutani quien lo demostró en 1941) es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer que describe condiciones para las cuales una función multivaluada definida en un subconjunto compacto y convexo del espacio Euclidiano tiene un punto fijo (es decir, un punto que es enviado bajo la función a un subconjunto que también lo contiene).

Su importancia radica en que ha sido aplicado en diversos problemas de la economía y teoría de juegos, particularmente para demostrar la existencia de equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

Algunas definiciones utilizadas en el teorema son:

Una función multivaluada φ del conjunto X al conjunto Y es una regla de correspondencia que asocia uno o más puntos de Y a un punto de X. Formalmente, si X y Y son dos conjuntos entonces cualquier función de la forma ${displaystyle varphi :X ightarrow 2^{Y}}$ es llamada función multivaluada.

Se dice que una función multivaluada ${displaystyle varphi :X ightarrow 2^{Y}}$ tiene una gráfica cerrada si el conjunto ${displaystyle {(x,y)|yin varphi (x)}}$ es un subconjunto cerrado de ${displaystyle X imes Y}$ bajo la topología producto.

Sea ${displaystyle varphi :X ightarrow 2^{Y}}$ una función multivaludada. Entonces a∈X es un punto fijo de φ si a∈φ(a).

Sea S un subconjunto no vacío, compacto y convexo del espacio Euclidiano ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle varphi :S ightarrow 2^{S}}$ una función multivaluada superiormente semicontinua, convexa y tal que φ(x) es cerrado y no vacío para todo x∈S. Entonces φ tiene un punto fijo.

Sea S un subconjunto no vacío, compacto y convexo del espacio euclidiano ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle varphi :S ightarrow 2^{S}}$ una función multivaluada con una gráfica cerrada y tal que φ(x) es no vacío y convexo para todo x∈S. Entonces φ tiene un punto fijo.

Kakutani estableció el teorema a partir de la definición de función superiormente semicontinua, sin embargo es posible demostrar que para una función cuya imagen es acotada, el que sea superiormente semicontinua con valores cerrados es equivalente a que su gráfica sea cerrada, de modo que ambos enunciados son equivalentes.