Teorema del virial

En mecánica clásica, el teorema del virial es una ecuación general que relaciona la energía cinética total promedio ${displaystyle leftlangle T ight angle }$ de un sistema con su energía potencial promedio ${displaystyle leftlangle V ight angle }$, donde los paréntesis angulares representan el promedio temporal de la magnitud contenida entre ellos. Matemáticamente, el teorema del virial establece que:

${displaystyle leftlangle T ight angle =-{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k} ight angle }$

Donde F_k representa la fuerza sobre la partícula k-ésima, que está ubicada en la posición r_k.

El teorema del virial permite calcular la energía cinética total promedio aún para sistemas muy complejos en los que es muy difícil obtener una solución exacta, tales como los relacionados en mecánica estadística; esta energía cinética total promedio se relaciona con la temperatura del sistema a través del teorema de equipartición. Un ejemplo de sus muchas aplicaciones es el uso del teorema del virial para calcular el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas. La palabra "virial" tiene su origen en vis, la palabra en Latín para "fuerza" o "energía", y Clausius en 1870 le dio su acepción técnica.^[1]​

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema es producida por una energía potencial V(r)=αr ⁿ que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre las partículas r, el teorema del virial adopta la forma:

${displaystyle 2langle T angle =nlangle V angle }$

En Termodinámica, el teorema del virial nos permite escribir un modelo que se aproxime a un gas real, que se encuentre en la Naturaleza. Para ello, se usa un desarrollo en potencias de 1/v, y se obtiene (en magnitudes molares):

${displaystyle {frac {pV}{RT}}=1+{frac {B(T)}{V}}+{frac {C(T)}{V^{2}}}+...}$

Donde B(T), C(T), ..., son el segundo coeficiente del virial, tercer coeficiente del virial respectivamente. A este desarrollo también se le conoce con el nombre de desarrollo de Kammerlingh Onnes. Como ejemplo, el gas de van der Waals puede escribirse usando el desarrollo de Kammerlingh Onnes como (de nuevo, en magnitudes molares):

${displaystyle {frac {Pv}{RT}}=1+{frac {b-{frac {a}{RT}}}{v}}+left({frac {b}{v}} ight)^{2}+left({frac {b}{v}} ight)^{3}+...}$

Por lo tanto, dos veces la energía cinética total ${displaystyle leftlangle T ight angle }$ es igual a n veces la energía potencial total promedio ${displaystyle leftlangle V_{TOT} ight angle }$. Donde V(r) representa la energía potencial entre dos partículas, V_TOT representa la energía potencial total del sistema, o sea la suma de la energía potencial V(r) sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de este sistema es una estrella que se existe gracias a su propia fuerza de gravedad, donde n es -1.

Aunque el teorema del virial depende de promediar la energía cinética total y la energía potencial total, esta presentación deja para un paso próximo el promediar.

Para un grupo de ${displaystyle N}$ partículas puntuales, el momento de inercia escalar I con respecto al origen queda definido por la ecuación

donde m_k y r_k representan la masa y la posición de la partícula k^ésima. El virial escalar G queda definido por la ecuación

donde p_k es el vector momento de la partícula k^ésima. Suponiendo que las masas son constantes, el virial G es la derivada temporal de este momento de inercia

A su vez, la derivada temporal del virial G es

o, en forma más simple,

Aquí ${displaystyle m_{k}}$ es la masa de la partícula ${displaystyle k^{esima}}$ , ${displaystyle mathbf {F} _{k}={frac {dmathbf {p} _{k}}{dt}}}$ es la fuerza neta sobre la partícula y ${displaystyle T}$ es la energía cinética total del sistema

La fuerza total ${displaystyle mathbf {F} _{k}}$ sobre la partícula ${displaystyle k}$ es la suma de todas las fuerzas que ejercen todas las otras partículas ${displaystyle j}$ en el sistema

donde ${displaystyle mathbf {F} _{jk}}$ es la fuerza aplicada por la partícula ${displaystyle j}$ sobre la partícula ${displaystyle k}$. Por lo tanto, el término de fuerza de la derivada temporal del virial resulta ser

Dado que ninguna partícula actúa sobre sí misma (o sea, ${displaystyle mathbf {F} _{jk}=0}$ siempre que ${displaystyle j=k}$), se tiene

donde se ha supuesto que vale la tercera ley del movimiento de Newton, o sea, ${displaystyle mathbf {F} _{jk}=-mathbf {F} _{kj}}$ (una reacción igual y opuesta).

A menudo sucede que las fuerzas son producto de una energía potencial ${displaystyle V}$ que es solo función de la distancia ${displaystyle r_{jk}}$ entre las partículas ${displaystyle j}$ y ${displaystyle k}$. Dado que la fuerza es el gradiente de la energía potencial, entonces resulta que

lo cual es igual y opuesto a ${displaystyle mathbf {F} _{kj}=- abla _{mathbf {r} _{j}}V}$, la fuerza aplicada por la partícula ${displaystyle k}$ sobre la partícula ${displaystyle j}$, lo que se puede confirmar mediante un cálculo explícito. Por lo tanto, el término fuerza de la derivada temporal del virial es

Por lo tanto, se tiene

Un caso especial común, es aquel en el cual la energía potencial ${displaystyle V}$ entre dos partículas es proporcional a una potencia n de la distancia que las separa r

donde el coeficiente α y el exponente n son constantes. En estos casos, el término de fuerza de la derivada temporal del virial se expresa por la ecuación

donde ${displaystyle V_{TOT}}$ es la energía potencial total del sistema

Por lo tanto, se tiene

Para sistemas gravitatorios y para sistemas electrostáticos, el exponente n es -1, resultando la identidad de Lagrange

lo cual fue descubierto por Lagrange y posteriormente extendido por Jacobi.

El promedio de esta derivada en un lapso de tiempo ${displaystyle au }$ se define como

de donde se obtiene la siguiente ecuación exacta

El teorema del virial afirma que, si ${displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}} ight angle _{ au }=0}$, entonces

Existen numerosas razones por las cuales el promedio de la derivada temporal se puede anular, o sea ${displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}} ight angle _{ au }=0}$. Una razón que se menciona se aplica a sistemas constreñidos, o sea sistemas que se encuentran limitados a permanecer juntos por siempre. En este caso, el virial ${displaystyle G^{mathrm {bound} }}$ por lo general queda acotado entre dos extremos, ${displaystyle G_{min }}$ y ${displaystyle G_{max }}$, y el promedio tiende a cero en el límite de tiempos muy largos ${displaystyle au }$

Aun si el promedio de la derivada temporal ${displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}} ight angle _{ au }approx 0}$ es aproximadamente cero, el teorema del virial vale con el mismo grado de aproximación.

Para fuerzas que obedecen a una ley de potencia con un exponente n, la ecuación general establece que

Para el caso de atracción gravitatoria, n es igual a -1 y la energía cinética promedio es igual a un medio de la energía potencial promedio negativa

Este resultado es útil para sistemas gravitatorios complejos tales como sistemas solares o galaxias.

No es preciso que el promedio sea en el tiempo; se puede realizar un promedio de colectivo, con resultados equivalentes.

Si bien ha sido desarrollado para la mecánica clásica, el teorema del virial es también válido en el ámbito de la mecánica cuántica.

En 1903 Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema del virial.^[2]​ Henri Poincaré utilizó una forma del teorema del virial en 1911 para el problema de determinar la estabilidad cosmológica.^[3]​ En 1945 Ledoux desarrolló una forma variacional del teorema del virial.^[4]​ Parker^[5]​ Chandrasekhar^[6]​ y Fermi^[7]​ a su vez desarrollaron formas tensoriales del teorema del virial,

Es posible extender el teorema del virial para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es^[8]​

donde I es el momento de inercia, G es la densidad de momento del campo electromagnético, T es la energía cinética del "fluido", U es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, W^E y W^M son la energía eléctrica y magnética contenidas en el volumen bajo consideración. Finalmente, p_ik es el tensor de presión del fluido expresdo en el sistema de coordenadas móvil local

y T_ik es el tensor electromagnético de tensiones,

Empleando el formalismo lagrangiano definimos la siguiente magnitud:

${displaystyle S=sum _{i}mathbf {p} _{i}cdot mathbf {r} _{i}}$

Siendo ${displaystyle mathbf {r} _{i}}$ las coordenadas generalizadas y

${displaystyle mathbf {p} _{i}={frac {partial L}{partial {dot {mathbf {r} }}_{i}}}}$

los momentos generalizados.

A continuación calculamos

${displaystyle langle {dot {S}} angle =lim _{t o infty }{frac {1}{t}}sum _{i}int _{0}^{t}{frac {d}{dt'}}(mathbf {p} _{i}cdot mathbf {r} _{i})cdot dt'=lim _{t o infty }{frac {1}{t}}sum _{i}mathbf {p} _{i}cdot mathbf {r} _{i}}$

Suponiendo que en el sistema dado, las coordenadas y momentos generalizados están acotados, concluimos que:

${displaystyle langle {dot {S}} angle =sum _{i}langle {dot {mathbf {p} }}_{i}cdot mathbf {r} _{i} angle +sum _{i}langle {mathbf {p} }_{i}cdot {dot {mathbf {r} }}_{i} angle =0}$

Además, puesto que:

${displaystyle sum _{i}mathbf {p} _{i}cdot {dot {mathbf {r} }}_{i}=2Tquad ;quad {dot {mathbf {p} }}_{i}=mathbf {F} _{i}}$

Obtenemos finalmente:

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