Topología inducida

En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto ${displaystyle Ysubseteq X}$ a partir de la topología del espacio topológico ${displaystyle X}$.

Sean ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ un espacio topológico e ${displaystyle Y}$ un subconjunto de ${displaystyle X}$. Entonces, la topología traza sobre ${displaystyle Y}$ es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica ${displaystyle i:Yhookrightarrow X}$, es decir, la aplicación definida por ${displaystyle i(y)=y,forall yin Y}$.

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre ${displaystyle Ysubseteq X}$ son las intersecciones de ${displaystyle Y}$ con los abiertos de ${displaystyle X}$:

La topología traza se denota mediante ${displaystyle {mathcal {T}}|_{Y}}$ y se dice que ${displaystyle (Y,{mathcal {T}}|_{Y})}$ es un subespacio topológico del espacio ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$. Si la aplicación ${displaystyle i:Yhookrightarrow X}$ es abierta, se dice que ${displaystyle Y}$ es un subespacio abierto, y que ${displaystyle Y}$ es un subespacio cerrado si ${displaystyle i:Yhookrightarrow X}$ es cerrada.

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio ${displaystyle Ysubseteq X}$:^[1]​

Una propiedad topológica ${displaystyle {mathcal {P}}}$ se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple ${displaystyle {mathcal {P}}}$ también cumplen ${displaystyle {mathcal {P}}}$.

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:^[2]​

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.