Transformada de coseno discreta

La transformada de coseno discreta (DCT del inglés Discrete Cosine Transform) es una transformada basada en la Transformada de Fourier discreta, pero utilizando únicamente números reales.

La transformada de coseno discreta expresa una secuencia finita de varios puntos como resultado de la suma de distintas señales sinusoidales (con distintas frecuencias y amplitudes). Como la transformada discreta de Fourier (abreviada, DFT) la DCT trabaja con una serie de números finitos, pero mientras la DCT solo trabaja con cosenos la DFT lo hace con exponenciales complejos.

Formalmente, la transformada de coseno discreta es una función lineal e invertible del dominio real ${displaystyle mathbb {R} ^{N}}$ al dominio real ${displaystyle mathbb {R} ^{N}}$, que también se puede entender de forma equivalente a una matriz de ${displaystyle N imes N}$ posiciones.

También existe la DCT multidimensional, que se puede considerar como la multiplicación separable de varias DCT. Por ejemplo la DCT de dos dimensiones es una transformada normal calculada por cada fila y columna.

La transformada de coseno discreta ${displaystyle F(k)}$ de una función discreta ${displaystyle f(j):mathbb {R} ^{N} o mathbb {R} ^{N}}$, (donde ${displaystyle mathbb {R} }$ denota el conjunto de los números reales) en la cual ${displaystyle j=0,1,2,cdots ,N-1}$ se define como: ^[1]​

Otras definiciones, en las cuales ${displaystyle F(k)=X_{k}}$ y ${displaystyle f(j)=x_{j}}$ son las siguientes:

Esta es la forma más típicamente utilizada.

También existen las DCT de la V a la VIII.

Las variantes más usadas de estas ecuaciones son la DCT-I y la DCT-II. La DCT-III se conoce popularmente como la IDCT (transformada inversa). Cada una de estas posibles variaciones es debida a la periodicidad y el tipo de simetría aplicada a las muestras originales.

Algunas de las aplicaciones encima mencionadas utilizan una variante de la DCT que es la MDCT