Traslación (geometría)

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector ${displaystyle {vec {u}}}$, tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:^[1]​

${displaystyle {egin{cases}T_{vec {u}}:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}&{overrightarrow {PP'}}={vec {u}}\Pmapsto P'=T(P)=P+{vec {u}}end{cases}}}$

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualquier punto X y H se cumple la siguiente identidad entre distancias:

${displaystyle d(x,h)=d(Y(X),Y(H))=d(X',H);}$

Más aún se cumple que:

${displaystyle {overrightarrow {PQ}}={overrightarrow {P'Q'}}}$

Notas:

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional v = (v_x, v_y, v_z) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas como v = (v_x, v_y, v_z, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

${displaystyle T_{mathbf {v} }={egin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\0&1&0&v_{y}\0&0&1&v_{z}\0&0&0&1end{bmatrix}}}$

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

${displaystyle T_{mathbf {v} }mathbf {p} ={egin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\0&1&0&v_{y}\0&0&1&v_{z}\0&0&0&1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}p_{x}\p_{y}\p_{z}\1end{bmatrix}}={egin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\p_{y}+v_{y}\p_{z}+v_{z}\1end{bmatrix}}=mathbf {p} +mathbf {v} .!}$

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

${displaystyle T_{mathbf {v} }^{-1}=T_{-mathbf {v} }.!}$

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

${displaystyle T_{mathbf {u} }T_{mathbf {v} }=T_{mathbf {u} +mathbf {v} }.!}$

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.