U(1)

El grupo circular, representado por ${displaystyle S^{1}}$, es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad ${displaystyle S^{1}}$ del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos,

${displaystyle S^{1}={zin mathbb {C} :vert zvert =1}}$,

con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano.

Todo elemento de ${displaystyle S^{1}}$ es de la forma ${displaystyle e^{i heta }}$, con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de ${displaystyle S^{1}}$ hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues ${displaystyle e^{i heta _{1}}cdot e^{i heta _{2}}=e^{i( heta _{1}+ heta _{2})}}$, lo que muestra que el producto de elementos de ${displaystyle S^{1}}$ equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo.

El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, ${displaystyle mathbb {C} ^{*}={zin mathbb {C} :z eq 0}}$. Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos ${displaystyle S^{1}}$ y ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$ son isomorfos.^[1]​

Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de ${displaystyle 1 imes 1}$, representado por ${displaystyle mathrm {U} (1)}$.

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

${displaystyle {egin{bmatrix}cos t&-sin t\sin t&cos tend{bmatrix}}}$

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo ${displaystyle mathrm {U} (1),}$ también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de ${displaystyle 1 imes 1}$ de entrada compleja

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo ${displaystyle mathrm {SO} (2),}$ representa el conjunto de estas matrices de ${displaystyle 2 imes 2}$ cuyo determinante es igual a uno (${displaystyle mathrm {SO} (2):={Ain {mathcal {M}}_{2 imes 2}(mathbb {R} ):det(A)=1}}$). El conjunto ${displaystyle mathrm {SO} (2),}$ también es isomorfo a ${displaystyle mathrm {U} (1),}$.