Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

${displaystyle c(a+b)=ca+cb}$

o realizando la operación:

${displaystyle {egin{array}{rrr}&a&+b\ imes &&c\hline &ca&+cbend{array}}}$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

O también:

El binomio ${displaystyle a^{2}-b^{2}}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

Demostración:

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: ${displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)sum _{k=0}^{n}a^{k},b^{n-k}}$.

El producto de un par de binomios lineales ${displaystyle (ax+b)}$ ${displaystyle (cx+d)}$ es:

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:${displaystyle (a+b)^{n}}$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: ${displaystyle (p+q)^{2}}$

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

${displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

La operación se efectúa del siguiente modo:

${displaystyle {egin{array}{rrr}&a&+b\ imes &a&+b\hline &+ab&+b^{2}\a^{2}&+ab&\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}end{array}}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma ${displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}}$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

${displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}}$

La operación se efectúa del siguiente modo:

${displaystyle {egin{array}{rrr}&a&-b\ imes &a&-b\hline &-ab&+b^{2}\a^{2}&-ab&\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}end{array}}}$

Ejemplo:

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática ${displaystyle y=x^{2}}$, se desarrolla el binomio ${displaystyle {(x+h)}^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}}$. El coeficiente del término en ${displaystyle h}$ que es ${displaystyle 2x}$ es la derivada de ${displaystyle x^{2}}$. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de ${displaystyle h}$, el término lineal es ${displaystyle 2xh}$.

Igualmente, para ${displaystyle y=x^{3}}$ se desarrolla ${displaystyle (x+h)^{3}}$. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de ${displaystyle h}$ es ${displaystyle 3x^{2}}$, que es la derivada de ${displaystyle x^{3}}$.

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