Cuantización

En física, una cuantización es un procedimiento matemático para construir un modelo cuántico para un sistema físico a partir de su descripción clásica.

En concreto dada la descripción hamiltoniana de un sistema clásico mediante una variedad simpléctica ${displaystyle ({mathcal {M}},omega )}$ se puede definir^[1]​ formalmente el proceso de cuantización como la construcción de un espacio de Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}}$ tal que al conjunto de magnitudes físicas u observables medibles en el sistema clásico ${displaystyle f_{i},}$ se le asigna un conjunto de observables cuánticos u operadores autoadjuntos ${displaystyle {hat {f}}_{i}}$ tales que:

Donde ${displaystyle I_{mathcal {H}}}$ es la aplicación identidad sobre el espacio de Hilbert asignado al sistema, ${displaystyle {cdot ,cdot }}$ es el paréntesis de Poisson y ${displaystyle [cdot ,cdot ]}$ es el conmutador de operadores.

Por el teorema de Stone-von Neumann la condición (5) implica que los grados de libertad de desplazamiento nos obligan a tomar ${displaystyle {mathcal {H}}approx L^{2}(mathbb {R} ^{n})}$ y un operador es multiplicativo y otro derivativo. Así si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas espaciales:

Si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas de momento conjugado:

Un sistema hamiltoniano clásico definido sobre una variedad simpléctica ${displaystyle ({mathcal {M}},omega )}$ se llama cuantizable si existe un ${displaystyle S^{1}}$-fibrado principal ${displaystyle pi :{mathcal {Q_{M}}} o {mathcal {M}}}$ y una 1-forma ${displaystyle alpha ;}$ sobre ${displaystyle {mathcal {Q_{M}}}}$, llamada variedad de cuantización, tal que:

Un resultado recogido en Steenrod 1951 implica que una variedad es cuantizable si la segunda clase de cohomología satisface cierta propiedad:

Los procedimientos de primera cuantización son métodos que permiten construir modelos de una partícula dentro de la mecánica cuántica a partir de la correspondiente descripción clásica del espacio de fases de una partícula.

Los procedimientos de segunda cuantización son métodos para construir teorías cuánticas de campos a partir de una teoría clásica de campos.

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