Diseño experimental
El diseño experimental es una técnica estadística que permite identificar y cuantificar las causas de un efecto dentro de un estudio experimental. En un diseño experimental se manipulan deliberadamente una o más variables, vinculadas a las causas, para medir el efecto que tienen en otra variable de interés. El diseño experimental prescribe una serie de pautas relativas qué variables hay que manipular, de qué manera, cuántas veces hay que repetir el experimento y en qué orden para poder establecer con un grado de confianza predefinido la necesidad de una presunta relación de causa-efecto.
El diseño experimental encuentra aplicaciones en la industria, la agricultura, la mercadotecnia, la medicina, la ecología, las ciencias de la conducta, etc. constituyendo una fase esencial en el desarrollo de un estudio experimental.
Ronald Fisher es considerado el padre del diseño experimental en sus estudios de agronomía en el primer tercio del siglo XX. A la lista de los pioneros de su uso hay que añadir los de Frank Yates, W.G. Cochran y G.E.P. Box. Muchas de las aplicaciones originarias del diseño experimental estuvieron relacionadas con la agricultura y la biología, disciplinas de las que procede parte de la terminología propia de dicha técnica.
Las aplicaciones a la industria textil comenzaron en la década de 1930 en Inglaterra y se popularizaron y extendieron a las industrias química y manufacturera de Europa y EE. UU. tras la II Guerra Mundial. Es de notar su uso actual en la industria de la electrónica y los semiconductores.
En estadística, un experimento factorial completo es un experimento cuyo diseño consta de dos o más factores, cada uno de los cuales con distintos valores o niveles, cuyas unidades experimentales cubren todas las posibles combinaciones de esos niveles en todo los factores. Este tipo de experimentos permiten el estudio del efecto de cada factor sobre la variable respuesta, así como el efecto de las interacciones entre factores sobre dicha variable.
Por ejemplo, con dos factores y dos niveles en cada factor, un experimento factorial tendría en total cuatro combinaciones de tratamiento, y se le denominaría diseño factorial de 2×2.
Si el número de combinaciones en un diseño factorial completo es demasiado alto para su procesamiento, puede optarse por un diseño factorial fraccional, en el que se omitan algunas de las combinaciones posibles.
Los diseños factoriales fueron utilizados en el siglo XIX por Jhon Bennet Lawes y Henry J. Gilbert de la Estación experimental de Rothamsted.[1] Ronald Fisher discutió en 1926 que los diseños «complejos», como diseños factoriales, eran más eficientes que estudiando un factor a la vez.[2] Fisher escribió: «ningún aforismo se repite tan frecuentemente respecto de las pruebas de campo, que aquel de que a la Naturaleza debemos hacerle pocas preguntas, o, idealmente, hacérselas de a una. Quien escribe es un convencido de que este punto de vista está totalmente equivocado.» Un diseño factorial permite el efecto de varios factores e incluso interacciones entre ellas que se determinarán con el mismo número de ensayos que son necesario determinar de los efectos por sí mismo con el mismo grado de exactitud.
Yates realizó importantes contribuciones significativas hechas, particularmente en el análisis de diseños, por Análisis de Yates. El término factorial no se pudo haber utilizado en la impresión antes de 1935, cuando Fisher la utilizó en su libro El diseño de experimentos. [1]
Para ahorrar el espacio, los puntos en un experimento factorial de dos niveles se abrevian a menudo con las cadenas de más y signos de menos. Las secuencias tienen tantos símbolos como factores, y sus valores dictan el nivel de cada factor: − para el primer (o bajo) llano, y + para el segundo (o alto) llano. Los puntos en este experimento se pueden representar como − −, + −, − +, y + +.
Los puntos factoriales se pueden también abreviar cerca (1), a, b, y el ab, donde la presencia de una letra indica que el factor especificado está en su alto (o en segundo lugar) nivel y la ausencia de una letra indica que el factor especificado está en su (o primero) nivel bajo (por ejemplo, “a” indica que el factor A está en su alto ajuste, mientras que el resto de los factores están en su ajuste del punto bajo (o primero)). (1) se utiliza indicar que todos los factores están en sus (o primero) valores más bajos.
Para poder finalmente obtener un modelo estadístico que nos indique el valor de respuesta al modificar los factores.
Cálculo del efecto
Contraste = (suma de niveles+)-(suma de niveles-) Efecto Contraste /réplica*2^k
b= efecto/2 bo= suma total/número total
Modelo estadístico: Y= bo+ b1X1 + b2X2......
El experimento factorial más simple contiene dos niveles para cada uno de dos factores. Suponga los deseos de un ingeniero para estudiar la energía total usada por cada uno de dos diversos motores, A y B, funcionando en cada uno de dos diversas 2000 o 3000 RPM de las velocidades. El experimento factorial consistiría en cuatro elementos experimentales: viaje en automóvil A en 2000 RPM, viaje en automóvil B en 2000 RPM, viaje en automóvil A en 3000 RPM, y viaje en automóvil B en 3000 RPM. Cada combinación de un solo nivel seleccionado de cada factor está presente una vez.
Este experimento es un ejemplo de 22 (o 2x2) experimento factorial, nombrado así porque considera dos niveles (la base) para cada uno de dos factores (la energía o el exponente), o #lniveles#factores, produciendo 22puntos factoriales =4. Los diseños pueden implicar muchas variables independientes. Como otro ejemplo, los efectos de tres variables entradas se pueden evaluar en ocho condiciones experimentales demostradas como las esquinas de un cubo. Esto se puede conducir con o sin la réplica, dependiendo de su propósito previsto y recursos disponibles. Proporcionará los efectos de las tres variables independientes en la variable dependiente y las interacciones posibles(en caso de haber más de 3 se habla de un hiperespacio).
La técnica fundamental consiste en repartir el total en componentes mediante sumas de cuadrados. Esta técnica tuvo efectos secundarios en el modelo. Por ejemplo, demostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de tratamiento en diversos niveles.
Los los grados de libertad se pueden repartir de manera similar y especifican distribuciones χ² que describen las sumas asociadas de cuadrados.
El biólogo y estadístico inglés Ronald Fisher propuso una metodología por el diseño de experimentos en sus libros The Arrangement of Field Experiments (1926) y The Design of Experiments (1935). Mucho de su obra pionera trató de las aplicaciones agrícolas de sus métodos de estadística. Por ejemplo, describió cómo probar la hipótesis de la catadora de té. Estos métodos se han adaptado en las ciencias sociales y físicas y se usan todavía en la ingeniería agrícola y que se difieren del diseño y análisis de experimentos de computación.
Se utiliza para las comparaciones de los componentes de la desviación total. Por ejemplo, en una forma, o el solo-factor ANOVA, la significación estadística es probada para comparando la estadística de la prueba de F
donde:
a F-distribución con el del I-1, secundario< del > n< T> /sub grados de libertad. Usar la F-distribución es un candidato natural porque la estadística de la prueba es el cociente de dos sumas malas de los cuadrados que tienen a distribución del chi-cuadrado.
1.-Frank Yates and Kenneth Mather (1963). "Ronald Aylmer Fisher". Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society of London 9: 91–120. http://digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/fisherbiog.pdf.
2.-Ronald Fisher (1926). "The Arrangement of Field Experiments". Journal of the Ministry of Agriculture of Great Britain 33: 503–513. https://web.archive.org/web/20110928044736/http://digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/48.pdf.
Cuando en un experimento hay varios factores de interés, utilizamos el diseño experimental factorial.
En el experimento factorial, se analizaran todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada réplica del experimento, para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta.
Un experimento 2k proporciona el menor número de ensayos con los cuales se pueden estudiar k factores en un diseño factorial completo.
Existen varios casos especiales del diseño factorial, pero el más importante de todos ocurre cuando se tienen k factores, cada uno de ellos a dos niveles (22 es el factorial más pequeño).
Debido a que solamente hay dos niveles para cada factor, asumimos que la respuesta es aproximadamente lineal en el rango de los niveles elegidos de los factores.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta que produce un cambio en el nivel del factor.
Este diseño es el más sencillo de la serie. Consideramos dos factores: A y B, cada uno con 2 niveles.
Normalmente consideramos estos niveles como los niveles alto y bajo del factor ojtet El diseño 22 puede ser representado geométricamente como un cuadrado con 4 ensayos.
Para cualquier diseño 2k con n réplicas, la estimación del efecto y de los cuadrados se estiman de la siguiente forma:
Los efectos de interés en el diseño 22, son los efectos principales de A y B y la interacción AB.
Estimaremos cada uno de los efectos de la siguiente forma:
Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones anteriores se llaman contrastes. Podemos utilizar los contrastes para calcular las sumas de cuadrados para A, B y la interacción AB.
La SSE (Suma de cuadrados del Error) la obtendremos por diferencia, respecto a la SST
Es un diseño de 3 factores, cada uno a 2 niveles y consta de 8 combinaciones. Geométricamente el diseño es un cubo, cuyas esquinas son las 8 combinaciones. Este diseño permite estimar los 3 efectos principales (A, B, y C), las tres interacciones de dos factores (AB, AC, BC) y la interacción de los tres factores (ABC).
La estimación de cualquier efecto principal o interacción en un diseño 2k se determina al multiplicar las combinaciones de tratamientos de la 1.ª columna de la tabla por los signos del correspondiente efecto principal o columna de interacción, sumando los resultados para obtener un contraste, y dividiendo el contraste por la mitad del n.º total de réplicas.
Eliminaremos la interacción triple ABC, por lo que tendremos un grado de libertad más para el error.
Si aumentamos el número de factores en un experimento factorial, también aumenta el número de efectos que pueden ser estimados. Es importante conocer la estructura de sus variables para poder calcular la estabilidad de nuestro experimento
Así un experimento 24 tiene 4 efectos principales, 6 interacciones dobles, 4 triples, y 1 cuádruple.
La mayoría de las veces las interacciones de orden superior a dos son despreciables.
En experimentos factoriales 2k, con un k=3,4,5 o superior es común efectuar una sola réplica, despreciar las interacciones de orden superior a dos, y de estos modo poder utilizar los grados de libertad de dichas interacciones para la estimación del error. Esta forma de actuar puede conducirnos a decisiones erróneas si realmente alguna de estas interacciones que son de orden superior a dos son significativas.
El diseño de experimentos tiene una gran variedad de aplicaciones y puede ser aplicado a un gran número de industrias, la optimización de recursos, la identificación de causas de variabilidad son algunos de los objetivos del diseño de experimentos aplicados en nivel industrial. necesito experimentos de un solo factor.
A continuación se muestran algunos ejemplos de aplicaciones existentes según el tipo de industria.
A partir de aquí, ya es posible pensar en la elaboración del informe (publicación del experimento y sus resultados, a través de un artículo en una publicación nacional o internacional, donde se incluirán, además de las secciones ya mencionadas, las referencias bibliográficas).
Un ingeniero quiere estudiar la resistencia de una pieza plástica sometida a temperaturas cambiantes. La pieza puede ser elaborada con tres tipos de plástico distintos. De ahí que se plantee las siguientes preguntas:
Para darles respuesta, el ingeniero se plantea realizar una batería de experimentos. Cada uno de ellos consiste en tomar una pieza de un material dado, someterla a una temperatura prefijada y aplicarle una presión hasta que la pieza se quiebre. El grado de presión necesario será la medida de resistencia de la pieza.
Por fijar ideas, selecciona tres temperaturas, -20 °C, 20 °C y 60 °C. Por lo tanto, puede realizar 9, es decir, 3x3, pruebas distintas. Además, decide repetir cada una de las 9 pruebas 4 veces cada una. Finalmente, decide aleatorizar las pruebas, es decir, desordenarlas aleatoriamente en el tiempo.
Tras realizar los experimentos, obtiene 36, es decir, 4x9, medidas de resistencia distintas. A partir de ese momento, realiza un estudio cuantitativo utilizando técnicas estadísticas, como la ANOVA, que ya no forman parte propiamente de la fase del diseño experimental.
Una empresa manufacturera desea saber que factores son más importantes en el proceso de mecanizado, para obtener el mejor acabado superficial en uno de sus productos. Para realizar el experimento se han identificado 3 parámetros que se consideran de importancia, la velocidad de giro de la máquina, el avance y el radio de la herramienta. Se ha decido realizar un experimento a dos niveles (alto y bajo), con 3 factores.
Los datos tomados son los siguientes.
Para el análisis del experimento se toma la siguiente notación
Primero es necesario definir la matriz que tome tanto los efectos principales, como las interacciones entre ellas. según muchos autores, se suele despreciar las interacciones de tercer orden o superiores ya que no influyen de manera significativa. La matriz para nuestro caso, queda como sigue.
Con esta matriz se pasa a realizar el análisis de la influencia de cada componente sobre la respuesta utilizando el análisis de la varianza (ANOVA).
La tabla ANOVA inicial queda como sigue:
Se puede apreciar en la tabla inicial que las interacciones ABC, no afectan significativamente a la respuesta, pues su Fo es menor a Ft. Así pues elminamos la interacción ABC (antes se había mencionado que estos efectos son despreciables de manera directa por varios autores), y pasamos a recalcular la tabla ANOVA,y elminamos aquellos elementos cuyas Fo sean menor a Ft. Es necesario recordar que no es posible eliminar los efectos principales si existen interacciones dobles donde estas se encuentren, es decir no es posible eliminar A, sin antes haber eliminado AC y AB.
la tabla final de la ANOVA es la siguiente.
Como se puede apreciar en la tabla, no es posible eliminar el efecto principal C aun si su Fo es menor a su Ft, ya que existen las interacciones BC y AC las cuales son significativas. La tabla ANOVA nos muestra que la influencia de los efectos principales A,B,C y los interacciones dobles AC y BC tienen una importancia no despreciable en la respuesta. Para cuantificar que tanto influye cada elemento, pasamos a calcular su efecto y los coeficientes de la ecuación que predecira la respuesta en función de los elementos que hemos considerado como importantes.
El diagrama de Pareto para nuestro caso, revela el peso que tiene cada elemento en la respuesta. Se puede apreciar la importancia de cada elemento en orden descendente.