Ecuación de Poisson

En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Se debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, que la publicó en 1812 como corrección de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para la energía potencial.^[1]​

La ecuación de Poisson se define como:

${displaystyle Delta varphi =f,}$

donde ${displaystyle Delta ;}$ es el operador laplaciano, y f y ${displaystyle varphi ;}$ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

${displaystyle left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}} ight)varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

${displaystyle Delta varphi =0.!}$

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontrar una función ${displaystyle varphi }$ definida sobre el dominio ${displaystyle Omega }$ que satisfaga:

(1)${displaystyle {egin{cases}Delta varphi (mathbf {x} )=-c_{n} ho (mathbf {x} )&mathbf {x} in Omega subset mathbb {R} ^{n}\varphi ({ar {mathbf {x} }})=0&{ar {mathbf {x} }}in partial Omega end{cases}}}$

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:

${displaystyle varphi (mathbf {x} )={frac {-c_{n}}{4pi }}int {frac { ho ({ar {mathbf {x} }})d^{n}{ar {mathbf {x} }}}{|mathbf {x} -{ar {mathbf {x} }}|^{n-2}}}.}$

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas, ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante c_n debe ser tomada 1/ε₀ para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como c_n = 4π G.

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio ${displaystyle Omega }$ tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno de tal dominio:

(2)${displaystyle {egin{cases}Delta varphi (mathbf {x} )=0&mathbf {x} in Omega \varphi ({ar {mathbf {x} }})=f({ar {mathbf {x} }})&{ar {mathbf {x} }}in partial Omega end{cases}}}$

En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma ${displaystyle Omega }$ dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ${displaystyle ho }$.

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si ${displaystyle f({ar {mathbf {x} }})}$ es una función de clase C¹ sobre la frontera del dominio y ${displaystyle { ilde {f}}({ar {mathbf {x} }})}$ es una extensión de ${displaystyle f}$ a todo el dominio ${displaystyle Omega }$ que sea de clase C², es decir:

${displaystyle { ilde {f}}({ar {mathbf {x} }})=f({ar {mathbf {x} }})qquad forall {ar {mathbf {x} }}in partial Omega }$

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

${displaystyle varphi (mathbf {x} )={ ilde {f}}(mathbf {x} )+varphi _{1}(mathbf {x} )}$

${displaystyle Delta varphi _{1}(mathbf {x} )=-c_{n}{ ilde { ho }}qquad { ilde { ho }}:={frac {Delta { ilde {f}}}{c_{n}}}qquad varphi _{1}({ar {mathbf {x} }})=0}$

El problema de Neumann es similar al anterior pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.

(3)${displaystyle {egin{cases}Delta varphi (mathbf {x} )=0&mathbf {x} in Omega \mathbf {n} cdot abla varphi ({ar {mathbf {x} }})=mathbf {h} ({ar {mathbf {x} }})&{ar {mathbf {x} }}in partial Omega end{cases}}}$

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