La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemáticoAlexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
francésdonde es función de , para resolver la ecuación, se diferencia respecto a , quedando:
lo que se reduce a
y así tenemos que
o
En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:
llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.
Resolver:
Se hace el cambio de variable
por lo que
obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:
de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:
siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:
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