Función implícita

Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma ${displaystyle f(x,,y)=0.}$

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ entre las variables x e y:

Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función ${displaystyle F(x,y),}$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: ${displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)}$.

Si consideramos ${displaystyle y=fleft(x ight)}$ es una función en términos de la variable independiente x y ${displaystyle Gleft(y ight)}$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que ${displaystyle y=fleft(x ight)}$, entonces para obtener la derivada:

Obtener la derivada de:

El término ${displaystyle 6x^{2}y}$ se puede considerar que son dos funciones, ${displaystyle 6x^{2}}$ y ${displaystyle y}$ por lo que se derivará como un producto:

El término ${displaystyle 5y^{3}}$ se deriva como:

El término ${displaystyle 3x^{2}}$ se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

El término ${displaystyle x^{2}y^{2}}$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a ( ${displaystyle {frac {dy}{dx}}}$ ) los valores son:

Finalmente despejando ${displaystyle {frac {dy}{dx}}}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

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