Ley del logaritmo iterado

En teoría de la probabilidad, la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio. El enunciado original de esta ley se debe a A. Y. Jinchin (1924).^[1]​ A. N. Kolmogórov dio otra versión en 1929.^[2]​

Sean ${displaystyle {Y_{n}}}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media cero y varianza uno. Sea ${displaystyle S_{n}=Y_{1}+cdots +Y_{n}}$. Entonces

$${displaystyle limsup _{n ightarrow infty }{frac {pm S_{n}}{sqrt {2nlog log n}}}=1}$$

La ley del logaritmo iterado opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema central del límite. Hay dos versiones de la ley de los grandes números (la débil y la fuerte), y afirman que las sumas ${displaystyle S_{n}}$, escaladas por ${displaystyle n^{-1}}$, convergen a cero (en probabilidad y casi seguramente, respectivamente):

Por otra parte, el teorema central del límite afirma que las sumas ${displaystyle S_{n}}$, escaladas por ${displaystyle n^{-1/2}}$, convergen en distribución a una distribución normal estándar. Por la ley cero-uno de Kolmogórov, para cada ${displaystyle M}$ fijo, la probabilidad del evento ${displaystyle limsup _{n}{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}geq M}$ es 0 o 1. Pero

luego

Un argumento análogo prueba que

Por tanto, estas cantidades no pueden converger casi seguramente. De hecho, tampoco pueden converger en probabilidad, debido a la igualdad

y al hecho de que las variables aleatorias

son independientes y convergen en distribución a ${displaystyle {mathcal {N}}(0,1).}$

La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala en el que los dos límites se vuelven diferentes:

Así, aunque para cualquier ${displaystyle epsilon >0}$ fijo la cantidad ${displaystyle left|S_{n}/{sqrt {2nlog log n}} ight|}$ será menor que ${displaystyle epsilon }$ con probabilidad tendiendo a 1, esta cantidad será sin embargo mayor que ${displaystyle epsilon }$ para valores de ${displaystyle n}$ arbitrariamente grandes, casi seguramente; de hecho, esta cantidad visitará los entornos de cualquier punto del intervalo ${displaystyle (-1,1)}$ para valores de ${displaystyle n}$ arbitrariamente grandes, casi seguramente.