Logaritmo binario

En matemática el logaritmo binario o logaritmo en base 2: ${displaystyle y=log _{2}(x)}$ es la función matemática que determina a que valor y hay que elevarse a 2 para obtener x, es un caso particular de logaritmos en el que la base es 2.

Esta base tiene su importancia en informática (donde se lo representa comúnmente como lg n, o ld n que proviene del Latín logarithmus dualis), dada la codificación binaria que se utiliza. Así por ejemplo con un número determinado de bits, ocho por ejemplo, se puede codificar una cantidad de información equivalente a ${displaystyle 2^{8}=256}$, que es el número de variaciones que se pueden realizar con 0 y 1 en ocho posiciones. El uso del logaritmo binario, es útil cuando la información a calcular es la contraria: cuantas posiciones binarias y se necesitarán si se tiene que codificar x datos, direcciones, etc.

Con el ejemplo anterior para codificar 256 direcciones son necesarios ${displaystyle log _{2}(256)=8{ ext{ bits}}}$.

El logaritmo binario aparece frecuentemente en el análisis de algoritmos. Si un número n mayor que 1 es dividido por 2 repetidamente, el número de iteraciones necesitadas para obtener un valor de al menos 1 es la parte entera del lg n. Esta idea es utilizada en el análisis de varios algoritmos y estructura de datos. Por ejemplo en la búsqueda binaria, el tamaño del problema que resolver es dividido en mitades en cada iteración, y por lo tanto se necesitarán lg n iteraciones para resolver un problema de tamaño n. Similarmente, un árbol binario de búsqueda que contenga n elementos tiene una altura de lg n+1.

En dominio y rango entero, el logaritmo binario puede ser calculado con redondeo hacia arriba, o redondeo hacia abajo. Esas dos formas de logaritmos binarios enteros están relacionados a través de esta fórmula:

Una forma simple para calcular el log₂(n) en una calculadora que no posee la función log₂ es utilizar el logaritmo natural (base e, indicado como ln) o el logaritmo común (base 10, indicado como log), los cuales se encuentran en la mayoría de las calculadoras científicas. La fórmula para esto es:

Para demostrar la relación anterior, partimos de:

que es lo mismo que:

tomando logaritmos:

por la propiedad de los logaritmos:

lo que resulta:

este resultado es independiente de la base de logaritmos que tomemos. Por lo que podemos generalizar:

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