Lógica doxástica

La lógica doxástica (del griego antiguo δόξα, doxa, "creencia") es una lógica modal que se ocupa del razonamiento acerca de las creencias. Típicamente, una lógica doxástica utiliza la expresión ${displaystyle B_{c}p,}$ para significar "el razonador c cree que p es verdadero", y el conjunto ${displaystyle B_{c},}$ se refiere al conjunto de creencias de c.

Existe un paralelismo completo entre los razonadores que creen en proposiciones y los sistemas matemáticos que demuestran proposiciones. Utilizando la lógica doxástica, se puede expresar el equivalente epistémico del teorema de la incompletitud de Gödel, como también el teorema de Löb, y otros resultados metamatemáticos.^[1]​

Sea un razonador preciso al que se le encomienda la tarea de asignar un valor de verdad a una proposición que se le presenta. Existe una proposición frente a la cual el razonador deberá permanecer indeciso para siempre o perder su precisión. Una solución es la proposición:

Si el razonador alguna vez cree la proposición S, se vuelve falso por este solo acto, haciendo de S una creencia falsa y por lo tanto convirtiendo al razonador en impreciso al creer en S.

Por lo tanto, dado que el razonador es preciso, él o ella nunca creerán en S. Por lo tanto la proposición era verdadera, ya que eso es exactamente lo que se afirmaba. Además el razonador nunca tendrá la falsa creencia que S es verdadero. El razonador no puede creer ni que la proposición es verdadera o es falsa sin convertirse en inconsistente (o sea afirmar dos creencias contradictorias). Y por lo tanto el razonador debe permanecer por siempre indeciso en lo que respecta a si la proposición S es verdadera o falsa.

El teorema equivalente establece que para cualquier sistema formal F, existe una proposición matemática que puede ser interpretada significando "Esta proposición no es demostrable en el sistema formal F". Si el sistema F es consistente, ni la proposición ni su opuesta serán demostrables en él.^[1]​^[2]​

A un razonador del tipo 1 se le formula la siguiente proposición "Usted nunca creerá esta proposición." Resulta interesante notar que si el razonador cree que él o ella son siempre precisos, entonces él o ella se convierten en imprecisos. Dicho razonador hará el siguiente razonamiento: "Si yo creo la proposición entonces la misma será falsa por esta acción, lo que significa que yo seré impreciso. Esto es imposible, ya que yo siempre soy preciso. Por lo tanto yo no puedo creer dicha proposición, debe ser falsa."

Por lo tanto el razonador cree que la proposición es falsa, lo que hace que la proposición sea verdadera. Por lo tanto el razonador es impreciso en creer que la proposición es falsa. Si el razonador no hubiera asumido su propia precisión, él o ella nunca se hubieran involucrado en una imprecisión.

Se puede demostrar que un razonador presumido es peculiar.^[1]​^[2]​

En sistemas se define la reflexividad de forma que para cualquier p (en el lenguaje del sistema) existe algún q tal que q≡(Bq→p) es demostrable en el sistema. El teorema de Löb (en una forma general) establece que para todo sistema reflexivo del tipo 4, si Bp→p es demostrable en el sistema, también lo es p.^[1]​^[2]​

Si un razonador reflexivo del tipo 4 cree que él o ella es estable, entonces él o ella se volverá inestable. Dicho en otras palabras, si un razonador estable reflexivo del tipo 4 cree que él o ella es estable, entonces él o ella se volverá inconsistente. A que se debe esto? Supongamos que un razonador estable reflexivo del tipo 4 cree que él o ella es estable. Se demuestra a continuación que él o ella creerá que en toda proposición p (y por lo tanto ser inconsistente). Tomemos una proposición aleatoria p. El razonador cree BBp→Bp, por lo tanto según el teorema de Löb él o ella creerá Bp (porque él o ella cree Br→r, donde r es la proposición Bp, y por lo tanto él o ella creerá en r, que es la proposición Bp). Dado que es estable, él o ella entonces creerá p.^[1]​^[2]​

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