Material de Mooney-Rivlin

En mecánica de sólidos, un material del Mooney–Rivlin^[1]​^[2]​ es un tipo de material hiperelástico modelizable mediante una función densidad de energía de deformación ${displaystyle W,}$ que es una combinación lineal de dos invariantes algebraicos del tensor tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$. El modelo de Mooney-Rivlin fue propuesto inicialmente por Melvin Mooney en 1940 y fue reformulado en términos de invariantes algebraicos por Ronald Rivlin en 1948.

La función densidad de energía de deformación para un material de Mooney-Rivlin incompresible viene dada por:^[3]​^[4]​

${displaystyle W=C_{1}({overline {I}}_{1}-3)+C_{2}({overline {I}}_{2}-3),,}$

donde ${displaystyle C_{1}}$ y ${displaystyle C_{2}}$ son constantes que se determinan empíricamente para cada material concreto y ${displaystyle {overline {I}}_{1}}$ y ${displaystyle {overline {I}}_{2}}$ son el primer invariante (invariante lineal) y segundo invariante (invariante cuadrático) del componente unimodular del tensor de Cauchy-Green:^[5]​

${displaystyle {egin{aligned}{ar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}~;~~J=det({oldsymbol {F}})\{ar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}+lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}+lambda _{3}^{2}lambda _{1}^{2}end{aligned}}}$

donde ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ es el gradiente de deformación. Para un material incompresible, ${displaystyle J=1}$.

El material de Mooney-Rivlin es un caso especial de "material de Rivlin generalizado" (también llamado modelo hiperelástico polinómico^[6]​) que tiene la forma:

${displaystyle W=sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({ar {I}}_{1}-3)^{p}~({ar {I}}_{2}-3)^{q}+sum _{m=1}^{M}D_{m}~(J-1)^{2m}}$

con ${displaystyle C_{00}=0}$ donde ${displaystyle C_{pq}}$ son constantes materiales relacionadas con la respuesta frente a distorsión o cambio de forma y ${displaystyle D_{m}}$ son las constantes elásticas relacionadas con el cambio de volumen. Para un material compresible de Mooney-Rivlin ${displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}$ y se tiene:

${displaystyle W=C_{01}~({ar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({ar {I}}_{1}-3)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

Si ${displaystyle C_{01}=0}$ se obtiene un material neohookeano, un caso especial de material de Mooney-Rivlin. Por consistencia con la elasticidad lineal en el límite de las pequeñas deformaciones, es necesario que se satisfaga la condición:

${displaystyle kappa =2cdot D_{1}~;~~mu =2~(C_{01}+C_{10})}$

donde ${displaystyle kappa }$ es el módulo de compresibilidad y ${displaystyle mu }$ es el módulo de elasticidad transversal.

El tensor de tensiones de Cauchy de un material hiperelástico compresible que posee un estado natural (sin tensión) viene dado por:

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}={cfrac {2}{J}}left[{cfrac {1}{J^{2/3}}}left({cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{1}}}+{ar {I}}_{1}~{cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{2}}} ight){oldsymbol {B}}-{cfrac {1}{J^{4/3}}}~{cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{2}}}~{oldsymbol {B}}cdot {oldsymbol {B}} ight]+left[{cfrac {partial {W}}{partial J}}-{cfrac {2}{3J}}left({ar {I}}_{1}~{cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{1}}}+2~{ar {I}}_{2}~{cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{2}}} ight) ight]~{oldsymbol {mathit {1}}}}$

Para un material de Mooney-Rivlin compresible,

${displaystyle {cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{cfrac {partial {W}}{partial {ar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{cfrac {partial {W}}{partial J}}=2D_{1}(J-1)}$

Por tanto, el tensor de tensiones de Cauchy de un material de Mooney–Rivlin compresible viene dado por:

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}={cfrac {2}{J}}left[{cfrac {1}{J^{2/3}}}left(C_{1}+{ar {I}}_{1}~C_{2} ight){oldsymbol {B}}-{cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{oldsymbol {B}}cdot {oldsymbol {B}} ight]+left[2D_{1}(J-1)-{cfrac {2}{3J}}left(C_{1}{ar {I}}_{1}+2C_{2}{ar {I}}_{2}~ ight) ight]{oldsymbol {mathit {1}}}}$

A partir de lo anterior puede demostrarse, que la presión viene dada por

${displaystyle p:=-{ frac {1}{3}},{ ext{tr}}({oldsymbol {sigma }})=-{frac {partial W}{partial J}}=-2D_{1}(J-1),.}$

La tensión puede expresarse en la forma

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}={cfrac {1}{J}}left[-p~{oldsymbol {mathit {1}}}+{cfrac {2}{J^{2/3}}}left(C_{1}+{ar {I}}_{1}~C_{2} ight){oldsymbol {B}}-{cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{oldsymbol {B}}cdot {oldsymbol {B}}-{cfrac {2}{3}}left(C_{1},{ar {I}}_{1}+2C_{2},{ar {I}}_{2} ight){oldsymbol {mathit {1}}} ight]}$

La anterior ecuación se escribe frecuentemente como:

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}={cfrac {1}{J}}left[-p~{oldsymbol {mathit {1}}}+2left(C_{1}+{ar {I}}_{1}~C_{2} ight){ar {oldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{ar {oldsymbol {B}}}cdot {ar {oldsymbol {B}}}-{cfrac {2}{3}}left(C_{1},{ar {I}}_{1}+2C_{2},{ar {I}}_{2} ight){oldsymbol {mathit {1}}} ight]}$

donde:

Para un material de Mooney-Rivlin incompresible con ${displaystyle J=1}$

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=2left(C_{1}+I_{1}~C_{2} ight){oldsymbol {B}}-2C_{2}~{oldsymbol {B}}cdot {oldsymbol {B}}-{cfrac {2}{3}}left(C_{1},{ar {I}}_{1}+2C_{2},{ar {I}}_{2} ight){oldsymbol {mathit {1}}}}$

Nótese que si ${displaystyle J=1}$ entonces:

${displaystyle det({oldsymbol {B}})=det({oldsymbol {F}})det({oldsymbol {F}}^{T})=1}$

Entonces, del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que:

${displaystyle {oldsymbol {B}}^{-1}={oldsymbol {B}}cdot {oldsymbol {B}}-I_{1}~{oldsymbol {B}}+I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}}$

De ahí se tiene que el tensor de tensiones de Cauchy puede expresarse también como:

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=-p^{*}~{oldsymbol {mathit {1}}}+2C_{1}~{oldsymbol {B}}-2C_{2}~{oldsymbol {B}}^{-1}}$

donde ${displaystyle p^{*}:={ frac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).,}$

En términos de los alargamientos principales, el tensor de tensiones de Cauchy para un material hiperelástico incompresible viene dada por:

${displaystyle sigma _{11}-sigma _{33}=lambda _{1}~{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{1}}}-lambda _{3}~{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{3}}}~;~~sigma _{22}-sigma _{33}=lambda _{2}~{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{2}}}-lambda _{3}~{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{3}}}}$

para un material de Mooney-Rivlin incompresible:

${displaystyle W=C_{1}(lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}+lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}+lambda _{3}^{2}lambda _{1}^{2}-3)~;~~lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}=1}$

Por tanto,

${displaystyle lambda _{1}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{1}}}=2C_{1}lambda _{1}^{2}+2C_{2}lambda _{1}^{2}(lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2})~;~~lambda _{2}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{2}}}=2C_{1}lambda _{2}^{2}+2C_{2}lambda _{2}^{2}(lambda _{1}^{2}+lambda _{3}^{2})~;~~lambda _{3}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{3}}}=2C_{1}lambda _{3}^{2}+2C_{2}lambda _{3}^{2}(lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2})}$

Puesto que ${displaystyle lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}=1}$, se puede escribir como:

${displaystyle {egin{aligned}lambda _{1}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{1}}}&=2C_{1}lambda _{1}^{2}+2C_{2}left({cfrac {1}{lambda _{3}^{2}}}+{cfrac {1}{lambda _{2}^{2}}} ight)~;~~lambda _{2}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{2}}}=2C_{1}lambda _{2}^{2}+2C_{2}left({cfrac {1}{lambda _{3}^{2}}}+{cfrac {1}{lambda _{1}^{2}}} ight)\lambda _{3}{cfrac {partial {W}}{partial lambda _{3}}}&=2C_{1}lambda _{3}^{2}+2C_{2}left({cfrac {1}{lambda _{2}^{2}}}+{cfrac {1}{lambda _{1}^{2}}} ight)end{aligned}}}$

Entonces las expresiones para el tensor de tensiones de Cauchy se expresan como:

${displaystyle sigma _{11}-sigma _{33}=2C_{1}(lambda _{1}^{2}-lambda _{3}^{2})-2C_{2}left({cfrac {1}{lambda _{1}^{2}}}-{cfrac {1}{lambda _{3}^{2}}} ight)~;~~sigma _{22}-sigma _{33}=2C_{1}(lambda _{2}^{2}-lambda _{3}^{2})-2C_{2}left({cfrac {1}{lambda _{2}^{2}}}-{cfrac {1}{lambda _{3}^{2}}} ight)}$

La respuesta elástica de materiales de tipo goma o caucho se modeliza frecuentemente como un material de Mooney—Rivlin model. Las constantes ${displaystyle C_{1},C_{2}}$ se determinan experimentalmente ajustando los datos experimentales mediante las ecuaciones anteriores. Los ensayos recomendados son el ensayo uniaxial de tracción, la compresión y tracción equibiaxiales, la compresión uniaxial, y para la respuesta de cortante la tracción y compresión planas. Los dos parámetros del modelo de Mooney–Rivlin proporcionan respuestas adecuadas para deformaciones inferiores al 100%.

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