Matrices gamma

En física matemática, las matrices gamma, ${displaystyle {gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2},gamma ^{3}}}$, también conocidas como matrices de Dirac, son un conjunto de matrices convencionales junto con unas relaciones de anticonmutación que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )}$. También es posible definir matrices gamma en más dimensiones. Interpretadas como las matrices de la acción de un conjunto de vectores de una base ortogonal para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski, los vectores columna sobre los que actúa la matriz se transforman en un espacio de espinores, sobre los que actúa el álgebra de Clifford del espaciotiempo. Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz infinitesimales. El empleo de espinores en general facilita los cálculos en el espaciotiempo, y en particular es fundamental en la ecuación de Dirac para partículas relativistas de espín ½.

En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son

${displaystyle gamma ^{0}}$ es una matriz tipo tiempo y el resto son matrices tipo espacio.

Se pueden definir conjuntos análogos de matrices para cualquier dimensión y signatura de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli forman un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con signatura métrica euclidiana (3,0). En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.

La propiedad que define que las matrices gamma matrices generan un álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación

donde ${displaystyle {,}}$ es el anticonmutador, ${displaystyle eta ^{mu u }}$ es la métrica de Minkowski con signatura (+ − − −) y ${displaystyle I_{4}}$ es la matriz identidad 4 × 4.

Esta propiedad es más fundamental que los valores numéricos utilizados en una representación concreta de las matrices gamma. La versión covariante gamma las matrices están definidas por

empleando la notación de Einstein.

Nota que con la signatura métrica opuesta, (− + + +) o bien hay que cambiar la ecuación:

o bien multiplicar todas las matrices gamma por ${displaystyle i}$, lo que naturalmente modifica las propiedades de hermiticidad. Con la convención de signatura alternativa las matrices gamma covariantes son entonces

El álgebra de Clifford ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )}$ sobre el espacio-tiempo ${displaystyle V}$ puede ser considerado como el conjunto de operadores lineales reales de ${displaystyle V}$ a ${displaystyle V}$, ${displaystyle mathrm {End} (V)}$ o más generalmente, al complexificar a ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )_{mathbf {C} }}$, como el conjunto de operadores lineales de cualquier espacio vector complejo dimensional 4 a sí mismo. Dicho de un modo más simple, dada una base para V, ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )_{mathbf {C} }}$ es el conjunto de todas las matrices complejas 4 × 4, pero dotado con una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado con una métrica de Minkowski ${displaystyle eta _{mu u }}$ y un espacio de biespinores ${displaystyle U_{x}}$ en cada punto del espacio-tiempo con la representación biespinorial del grupo de Lorentz. Los campos biespinoriales ${displaystyle psi }$ de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto ${displaystyle x}$ en espacio-tiempo, son elementos de ${displaystyle U_{x}}$. El álgebra de Clifford asimismo actúa en ${displaystyle U_{x}}$ (por multiplicación matricial con vectores de columna ${displaystyle psi (x)}$ en ${displaystyle U_{x}}$ para todo ${displaystyle x}$). Como se verá, esta será la función primaria de los elementos de ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )_{mathbf {C} }}$ en esta sección.

Para cada transformación lineal ${displaystyle S}$ de ${displaystyle U_{x}}$, hay una transformación de ${displaystyle mathrm {End} (U_{x})}$ dada por ${displaystyle SES^{-1}}$ para ${displaystyle E}$ en ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )_{mathbf {C} }approx mathrm {End} (U_{x})}$. Si ${displaystyle S}$ pertenece a una representación del grupo de Lorentz, la acción inducida ${displaystyle E}$ ↦ ${displaystyle SES^{-1}}$ también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz.

Si ${displaystyle S(Lambda )}$ es la representación biespinorial que actúa en ${displaystyle U_{x}}$ de una transformación de Lorentz ${displaystyle Lambda }$ arbitraria en el la representación estándar (cuadrivector) que actúa en ${displaystyle V}$, entonces hay un operador correspondiente en ${displaystyle mathrm {End} (U_{x})}$ = ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )_{mathbf {C} }}$ dado por

demostrando que ${displaystyle gamma ^{mu }}$ puede ser vista como la base de un espacio de representación de la representación de cuadrivectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Esto significa que las cantidades de la forma

deberían de ser tratadas como cuadrivectores en las manipulaciones. También significa que los índices de γ se pueden subir y bajar utilizando la métrica ${displaystyle eta _{mu u }}$ como con cualquier cuadrivector. La notación presentada se llama notación slash de Feynman. La operación slash lleva los vectores unitario ${displaystyle e_{mu }}$ de ${displaystyle V}$, o de cualquier espacio vectorial de dimensión 4, a la base de vectores ${displaystyle gamma ^{mu }}$. La regla de transformación para cantidades con slash es sencillamente

Hay que notar que esto es diferente de la regla de transformación para los ${displaystyle gamma ^{mu }}$, que son ahora tratados como una base vectorial (fija). La designación de la tupla (${displaystyle gamma ^{mu }}$) = (${displaystyle gamma ^{0}}$, ${displaystyle gamma ^{1}}$, ${displaystyle gamma ^{2}}$, ${displaystyle gamma ^{3}}$) como cuadrivector que se hace a veces en la literatura puede llevar a errores. Eso correspondería a una transformación activa de los componentes de una cantidad con slash en términos de la base ${displaystyle gamma ^{mu }}$, y la forma anterior a una transformación pasiva de la propia base ${displaystyle gamma ^{mu }}$.

Los elementos ${displaystyle sigma ^{mu u }=gamma ^{mu }gamma ^{ u }-gamma ^{ u }gamma ^{mu }}$ forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Es una representación con espín. Cuando se hacen exponenciales de estas matrices y de sus combinaciones lineales, se obtienen representaciones biespinoriales del grupo de Lorentz, por ejemplo, el ${displaystyle S(Lambda )}$ usado anteriormente. El espacio de 6 dimensiones generado por ${displaystyle sigma ^{mu u }}$ es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz.

En unidades naturales, la ecuación de Dirac puede ser escrita como

donde ${displaystyle psi }$ es un espinor de Dirac.

Cambiando a la notación de Feynman, la ecuación de Dirac es

Es útil definir el producto de cuatro matrices gamma:

A pesar de que utiliza la letra gamma, ${displaystyle gamma ^{5}}$ no es una de las matrices gamma de ${displaystyle mathrm {C} ell _{1,3}(mathbf {R} )}$. El número 5 es una reliquia de la antigua notación en la que se llamaba "${displaystyle gamma ^{4}}$" a ${displaystyle gamma ^{0}}$

${displaystyle gamma ^{5}}$ tiene una definición alternativa:

Esto se puede ver explotando el hecho que todas las matrices gamma anticonmutan, así que

donde ${displaystyle delta _{mu u varrho sigma }^{alpha eta gamma delta }}$ es la delta de Kronecker generalizada de tipo (4,4) en 4 dimensiones. Si ${displaystyle varepsilon _{alpha dots eta }}$denota el Símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos utilizar la identidad ${displaystyle delta _{mu u varrho sigma }^{alpha eta gamma delta }=varepsilon ^{alpha eta gamma delta }varepsilon _{mu u varrho sigma }}$. Así conseguimos

Esta matriz es útil al emplear el concepto de quiralidad. Por ejemplo, se puede proyectar un campo de Dirac sus componentes levógira y dextrógira mediante:

Algunas propiedades:

El conjunto ${displaystyle {gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2},gamma ^{3},igamma ^{5}}}$ por lo tanto, por las últimas dos propiedades y las del resto de matrices gamma, forma la base del álgebra de Clifford en 5 dimensiones del espacio-tiempo para la signatura métrica (1,4).^[1]​ En la signatura (4,1), se usa el conjunto ${displaystyle {gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2},gamma ^{3},gamma ^{5}}}$, donde las ${displaystyle gamma ^{mu }}$ son las apropiadas para la signatura (3,1).^[2]​ Este patrón se repite para cualquier dimensión de espacio-tiempo par ${displaystyle 2n}$ y la dimensión impar siguiente ${displaystyle 2n+1}$ para todo ${displaystyle ngeq 1}$.^[3]​

Las identidades siguientes se siguen de las relaciones fundamentales de anticonmutación, así que son válidas en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para ${displaystyle gamma ^{5}}$).

Para demostrar

se empieza con la relación de anticonmutación

Se puede conseguir que la primera identidad tenga un aspecto similar mediante la métrica ${displaystyle eta }$:

Para demostrar

otra vez utilizaremos la propiedad de anticonmutatividad:

Para demostrar

Utilizar el anticonmutador para desplazar ${displaystyle gamma ^{mu }}$ a la derecha

Utilizando la relación ${displaystyle gamma ^{mu }gamma _{mu }=4I}$ podemos contraer las dos últimas gammas, y conseguir

Finalmente utilizando la identidad del anticonmutador conseguimos

Si .${displaystyle mu = u = ho }$ entonces ${displaystyle epsilon ^{sigma mu u ho }=0}$ y es fácil verificar la identidad. Lo mismo ocurre cuando ${displaystyle mu = u eq ho }$, ${displaystyle mu = ho eq u }$ o ${displaystyle u = ho eq mu }$ Por otro lado, si los tres índices son diferentes, ${displaystyle eta ^{mu u }=0}$, ${displaystyle eta ^{mu ho }=0}$ y ${displaystyle eta ^{ u ho }=0}$ y ambos lados son completamente antisimétricos (el lado de la izquierda debido a la anticonmutatividad de las matrices${displaystyle gamma }$, y el lado derecho a la antisimetría de ${displaystyle epsilon _{sigma mu u ho }}$. Así basta verificar las identidades para los casos de ${displaystyle gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}}$, ${displaystyle gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{3}}$, ${displaystyle gamma ^{0}gamma ^{2}gamma ^{3}}$ y ${displaystyle gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}}$.

${displaystyle -iepsilon ^{sigma 012}gamma _{sigma }gamma ^{5}=-iepsilon ^{3012}(-gamma ^{3})(igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3})=-epsilon ^{3012}gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}=epsilon ^{0123}gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}}$

${displaystyle -iepsilon ^{sigma 013}gamma _{sigma }gamma ^{5}=-iepsilon ^{2013}(-gamma ^{2})(igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3})=epsilon ^{2013}gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{3}=epsilon ^{0123}gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{3}}$

${displaystyle -iepsilon ^{sigma 023}gamma _{sigma }gamma ^{5}=-iepsilon ^{1023}(-gamma ^{1})(igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3})=-epsilon ^{1023}gamma ^{0}gamma ^{2}gamma ^{3}=epsilon ^{0123}gamma ^{0}gamma ^{2}gamma ^{3}}$

${displaystyle -iepsilon ^{sigma 123}gamma _{sigma }gamma ^{5}=-iepsilon ^{0123}(gamma ^{0})(igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3})=epsilon ^{0123}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}}$

Las matrices gamma obedecen las siguientes identidades de traza:

Para demostrar estas identidades se necesitan tres propiedades de la traza:

De la definición de las matrices gamma,

se obtiene

o equivalentemente,

donde ${displaystyle eta ^{mu mu }}$ es un número y ${displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{mu }}$una matriz

Esto implica ${displaystyle operatorname {tr} (gamma ^{ u })=0}$

Para mostrar

empleamos la propiedad anterior

y las propiedades de la matriz ${displaystyle gamma ^{5},}$ siguientes:

Demostramos la propiedad para el cas de tres matrices. El primer paso es añadir dos matrices ${displaystyle gamma ^{5},}$ delante de las ${displaystyle gamma ,}$s, el segundo paso es llevar una de las ${displaystyle gamma ^{5},}$ al final mediante la propiedad cíclica de la traza, y el tercer paso, devolverla a su posición original empleando la anticonmutatividad:

Esto solamente se verifica si

La extensión a ${displaystyle 2n+1}$ (${displaystyle n}$ entero) matrices gamma es inmediata.

Si hay un número impar de matrices gamma seguidas de ${displaystyle gamma ^{5}}$, el objetivo es mover ${displaystyle gamma ^{5}}$ de la derecha a la izquierda, empleando la propiedad cíclica de la traza. Para hacer este movimiento, tenemos que anticonmutarla con todas las matrices gamma; un número impar de veces, adquiriendo un signo menos. Una traza igual a su negativo debe ser igual a cero.

Para demostrar

hacemos uso de

Para el término de la derecha, movemos ${displaystyle gamma ^{sigma },}$ hacia la izquierda

De nuevo en el término de la derecha desplazamos ${displaystyle gamma ^{sigma },}$ a la izquierda

La ecuación (3) es el término de la derecha de la ecuación (2), que a su vez es el término de la derecha de (1). También empleamos la tercera identidad para simplificar términos como:

Aplicándolo todo a la ecuación (1) se obtiene

Empleando la propiedad cíclica

Así que (4) queda

o

Para demostrar

procedemos según

Sumando a ambos lados ${displaystyle operatorname {tr} (gamma ^{5})}$ se tiene

Esta misma estrategia se puede usar para demostrar

Simplemente hay que añadir dos factores de${displaystyle gamma ^{alpha },}$, con ${displaystyle alpha ,}$ distinto de ${displaystyle mu ,}$ y de ${displaystyle u ,}$. Anticonmutando tres veces se obtienen tres signos menos, y usando la propiedad cíclica se llega a

Para una demostración de la identidad 6 funciona el mismo truco que en la identidad 5 a no ser que${displaystyle (mu u ho sigma ),}$ sea una permutación de (0123), y aparezcan las cuatro matrices gamma distintas. Las reglas de anticonmutación implican que cambiando dos índices cambia el signo de la traza, con lo que ${displaystyle operatorname {tr} (gamma ^{mu }gamma ^{ u }gamma ^{ ho }gamma ^{sigma }gamma ^{5}),}$ debe ser proporcional a ${displaystyle epsilon ^{mu u ho sigma },}$${displaystyle (epsilon ^{0123}=eta ^{0mu }eta ^{1 u }eta ^{2 ho }eta ^{3sigma }epsilon _{mu u ho sigma }=eta ^{00}eta ^{11}eta ^{22}eta ^{33}epsilon _{0123}=-1),}$ La constante de proporcionalidad es ${displaystyle 4i,}$ como se puede comprobar con el caso ${displaystyle (mu u ho sigma )=(0123),}$, escribiendo ${displaystyle gamma ^{5},}$, y recordando que la traza de la identidad es 4.

Denotamos el producto de ${displaystyle n}$ matrices gamma por${displaystyle Gamma =gamma ^{mu 1}gamma ^{mu 2}dots gamma ^{mu n}.}$ Consideramos el conjugado hermítico de ${displaystyle Gamma }$:

Se comprueba al conjugar con una${displaystyle gamma ^{0}}$ más que ${displaystyle gamma ^{0}Gamma ^{dagger }gamma ^{0}}$ está compuesto por las mismas matrices gamma que ${displaystyle Gamma }$ en orden inverso. Así pues,

Se puede escoger la forma de las matrices gamma con condiciones adicionales de hermiticidad, restringidas por las relaciones de anticonmutación. Podemos imponer

y para el resto de matrices (para k = 1, 2, 3)

Se comprueba inmediatamente que estas propiedades de hermiticidad se cumplen para la representación de Dirac.

Estas relaciones se pueden resumir como

Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción ${displaystyle gamma ^{mu } o S(Lambda )gamma ^{mu }{S(Lambda )}^{-1}}$ de una transformación de Lorentz ${displaystyle Lambda }$ porque ${displaystyle S(Lambda )}$ no es necesariamente una transformación unitaria debido que el grupo de Lorentz no es compacto.

La notación slash de Feynman está definida por

para cualquier cuadrivector a.

Aquí se presentan algunas identidades que involucran la notación slash:

Las matrices gamma escritas hasta ahora son las apropiadas para actuar sobre espinores de Dirac escritos en la base de Dirac; de hecho las base de Dirac está definida por estas matrices. Para resumir, en la base de Dirac:

Otra elección común es la base de Weyl o quiral, en la que las ${displaystyle gamma ^{k}}$ tienen la misma forma pero no ${displaystyle gamma ^{0}}$, y ${displaystyle gamma ^{5}}$ es diagonal,

o en notación más compacta:

La base de Weyl tiene la ventaja que las proyecciones quirales toman una forma sencilla,

La idempotencia de las proyecciones quirales es evidente. Con un ligero abuso de notación, reusando los símbolos ${displaystyle psi _{L/R}}$ se puede identificar

donde ahora ${displaystyle psi _{L}}$ y ${displaystyle psi _{R}}$ son los espinores de Weyl (de dos componentes) levógiro y dextrógiro.

Otra elección posible de la base de Weyl la base es^[4]​

Las proyecciones quirales toman una forma ligeramnete deferente

En otras palabras,

donde ${displaystyle psi _{L}}$ y ${displaystyle psi _{R}}$ son de nuevo los espinores de Weyl levógiro y dextrógiro.

En la base de Majorana todas las matrices gamma son imaginarias y los espinores reales. En términos de las matrices de Pauli, se pueden escribir como

La razón para hacer las matrices gamma imaginarias es obtener la signatura (+,−,−,−) en la que las masas al cuadrado son positivas. Aun así la representación de Majorana es real. Se puede eliminar la ${displaystyle i}$ para obtener otra representación distinta con matrices gamma y espinores reales pero con la signatura (−,+,+,+).

En teoría de campos cuánticos se puede hacer una rotación de Wick del eje temporal para pasar del espacio de Minkowski al espacio euclídeo. Esto es particularmente útil en algunos procedimientos de renormalización así como en teoría gauge en el retículo. En el espacio euclídeo, hay dos rpresenatciones usadas frecuentemente:

Notar que los factores ${displaystyle i}$ se encuentran en las matrices espaciales para obtener el álgebra de Clifford

También hay que notar que hay variantes de esta representación en las que se usa un factor ${displaystyle -i}$ en una de las matrices espaciales, como en los códigos de QCD en el retículo.

En espacio euclídeo,

Utilizando el anti-conmutador y notando que en el espacio euclídeo ${displaystyle (gamma ^{mu })^{dagger }=gamma ^{mu }}$, se demuestra que

En la base quiral en espacio euclídeo

que es igual a la versión de Minkowski.

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