Máximo común divisor

En las matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno (sin que sobre algún número).

Dados ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ dos números enteros distintos de cero. Si un número ${displaystyle c}$ divide a ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$, es decir, ${displaystyle c|a}$ y ${displaystyle c|b}$, diremos que ${displaystyle c}$ es divisor común de ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$.^[1]​ Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Si los divisores comunes de ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son únicamente 1 y -1 entonces diremos son primos entre sí'.

Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:

Ejemplo:

Los tres métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.

Ejemplo 1:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

Ejemplo 2:

El MCD de 42 y 56 es 14. En efecto:

operando:

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo de a y b:

El máximo común divisor de tres o más números se puede definir usando recursivamente: ${displaystyle operatorname {MCD} (a,b,c)=operatorname {MCD} (a,operatorname {MCD} (b,c))}$.^[3]​^[4]​

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

El mcd se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción ${displaystyle scriptstyle {frac {48}{60}}}$ se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada ${displaystyle scriptstyle {frac {4}{5}}}$.

El mcd también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo ${displaystyle scriptstyle {frac {48cdot 60}{12}}=240}$.

El mcd y el algoritmo de Euclides se emplea en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas.^[18]​

El algoritmo de Euclides se emplea en el desarrollo de un número racional en fracción continuada (sic)^[19]​

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