La paradoja del examen sorpresa es una paradoja relacionada con la lógica que puede describirse así:
Los alumnos, tras escuchar a su profesor decir esto, difícilmente razonan del siguiente modo:
Llega la semana siguiente, y tanto el lunes como el martes la clase continúa normalmente, y los alumnos están aliviados. Sin embargo, el miércoles, el profesor entra por la puerta y les pide que guarden sus libros para realizar el examen.
¿Dónde está el fallo en el razonamiento de los alumnos?
Para estudiar esta paradoja, es útil observar una forma más simple de ella:
El profesor dice a los alumnos:
Por supuesto, los alumnos razonan que si ha dicho el día del examen, ya no puede ser una sorpresa, por lo que el profesor se está contradiciendo. No es posible un examen así.
Ese viernes, cuando el profesor anuncia el examen, los alumnos se sorprenden, por lo que de alguna forma, lo que ha dicho el profesor es cierto.
El profesor afirma:
Los alumnos piensan:
Sin embargo, dado que los alumnos no saben que lo que ha dicho el profesor es cierto, su afirmación es cierta.
Esta paradoja es tan inquietante porque, a pesar de que los alumnos parecen demostrar que la afirmación se autocontradice, al final, es cierta. Se han sugerido varias resoluciones para ella.
Se puede afirmar que no está claro aquello que los alumnos tienen permitido esperar y cuando se supone que están sorprendidos. Si los alumnos son paranoicos y todos los días piensan que al día siguiente tendrán el examen, entonces, obviamente, no es una sorpresa, y la paradoja desaparece. Cuando estudiamos la paradoja, no tendemos a ofrecer la posibilidad de repetir su decisión, esto es, creemos que los estudiantes solo tienen permitido escoger una vez el día del examen. Sin embargo, en su razonamiento, los estudiantes sí se ofrecen esta libertad: "Si no lo tenemos el jueves, entonces decidiremos que debe ser el viernes, de modo que el miércoles decidiremos que debe ser el jueves...".
Otra posible solución es comparar el punto de vista de los alumnos con el del resto del mundo. Podemos decir que estarán "sorprendidos" si no pueden probar razonadamente y consistentemente, que eso se va a producir de ese modo, usando las afirmaciones del profesor como axiomas. En este caso, los alumnos están verdaderamente sorprendidos a la hora del examen. A pesar de que ellos no han podido probar cuándo va a ser el examen, todos los demás observadores podrían. La contradicción sólo ha aparecido cuando los alumnos tratan de probarlo.
Esta paradoja es análoga a la paradoja del mentiroso en el sentido en que sus axiomas son autorreferentes, esto es, que hablan sobre su propia veracidad. Se diferencia de ella en que añade un nuevo elemento, que es que indican qué persona debe probarlos. La palabra "sorpresa" es en esencia un axioma que afirma que los alumnos no podrán probar ciertas cosas mientras todos los demás sí. Esto hace que realmente no haya una paradoja, ya que es perfectamente posible que nosotros podamos probar algo que los alumnos no puedan, debido al modo en que los axiomas se refieren a quien hace la prueba.
Es interesante observar que el Teorema de la incompletud de Gödel puede verse como un modo de traducir la paradoja del mentiroso a matemática formal, ya que encontró un modo formal de dejar que los axiomas se autorreferenciasen. No existe esa traducción para esta paradoja, ya que los axiomas formales no pueden referirse a un observador específico de este modo.
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