Producto de Euler para la función zeta de Riemann

En 1737 Leonhard Euler demostró un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números (teoría analítica de números) enunciando el siguiente teorema:

Si s > 1, entonces ${displaystyle quad sum _{n=1}^{infty },{frac {1}{n^{s}}}=prod _{p}{frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Si se toma como variable s, esta serie o producto toma el nombre de función zeta de Riemann y se denota como ζ(s). Nótese que el producto se extiende sobre todos los números primos. A continuación se dan un par de demostraciones sobre este resultado, incluida la demostración original de Euler.

La demostración, escrita en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de obtener el producto, utilizando una cierta forma de cribado. Para su obtención solamente se utilizan métodos elementales, con lo cual cualquier persona con nociones básicas sobre álgebra puede entenderla.

Esto puede escribirse de forma simplificada como producto sobre todos los números primos p:

Para hacer rigurosa esta prueba, sólo es necesario observar que si s es un número complejo tal que Re(s) > 1, el miembro de la derecha ( el que se está cribando ), tiende a 1,lo cual se muestra inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para ζ(s).

Esta demostración, más estricta, es la que se muestra a continuación: