Q-identidad de Vandermonde

En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la q-identidad de Vandermonde es una q-análogo de la identitidad de Chu–Vandermonde, que recibe su nombre del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Utilizando la notación estándar para los coeficientes q-binomiales, la identidad toma la forma siguiente

Las contribuciones no nulas a esta suma provienen de los valores de j tales que sus q-coeficientes en el lado derecho de la ecuación son distintos de cero, es decir, max(0, k − m) ≤ j ≤ min(n, k).

Como es típico de las q-analogías, la q-identidad de Vandermonde puede ser reescrita de distintas maneras. En los convenios comunes en aplicaciones de grupos cuánticos, se utiliza un q-coeficiente binomial diferente. Este q-coeficiente binomial, denotado aquí por ${displaystyle B_{q}(n,k)}$, se define por

En particular, es el único cambio del q-coeficiente binomial "habitual" por una potencia de q que es simétrica en q y en ${displaystyle q^{-1}}$. El uso de este q-coeficiente binomial, permite que la q-identidad de Vandermonde se pueda escribir en la forma

Al igual que con la (no-q) identidad de Chu-Vandermonde, hay varias posibles demostraciones de la q-identidad de Vandermonde. En la prueba siguiente, se utiliza el teorema q-binomial.

Una prueba estándar de la identidad de Chu-Vandermonde es ampliar el producto ${displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}}$ de dos maneras diferentes. Stanley,^[1]​ demostró que es posible modificar esta prueba para aplicarla también a la q-identidad de Vandermonde. En primer lugar, se observa que el producto

puede ser ampliado por el q-teorema del binomio

Menos obviamente, se puede escribir

y se pueden ampliar los subproductos separadamente utilizando el q-teorema binomial, de lo que resulta

Multiplicando este último producto y combinando términos semejantes resulta

Por último, las potencias iguales de ${displaystyle x}$ de las dos expresiones producen el resultado deseado.

Este argumento puede también ser expresado en términos de la ampliación del producto ${displaystyle (A+B)^{m}(A+B)^{n}}$ de dos maneras diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) "q-conmutativos", es decir, que BA = qAB.

 [math.CO]. 

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