Reglas de derivación

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales (${displaystyle mathbb {R} }$) que regresan valores reales, es decir, ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} }$.

Para cualesquier funciones ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ y cualesquiera números reales ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$, la derivada de la función ${displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ con respetar a ${displaystyle x}$ es

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

Casos especiales incluyen:

Para las funciones ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$, la derivada de la función ${displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ con respecto a ${displaystyle x}$ es

En la notación de Leibniz esto se escribe como

La derivada de la función ${displaystyle h(x)=f(g(x))}$ es

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

a menudo abreviado a

Si la función ${displaystyle f}$ tiene como función inversa ${displaystyle g}$, esto es, ${displaystyle g(f(x))=x}$ y ${displaystyle f(g(y))=y}$ entonces

En Leibniz notación esto se escribe como

Si ${displaystyle f(x)=x^{r}}$, para cualquier número real ${displaystyle r eq 0,}$ entonces

cuando ${displaystyle r=1,}$ esto se convierte en el caso especial que si ${displaystyle f(x)=x}$ entonces ${displaystyle f'(x)=1.}$

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La derivada de ${displaystyle h(x)={frac {1}{f(x)}}}$ para cualquier función ${displaystyle f}$ es:

siempre que ${displaystyle f(x) eq 0}$ para toda ${displaystyle xin mathbb {R} }$.

En la notación de Leibniz esto se escribe como

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

Si ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son funciones entonces:

siempre que ${displaystyle g eq 0}$.

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$

como casos especiales se tiene

la ecuación de arriba es válida para todo ${displaystyle c}$, pero la derivada para ${ extstyle c<0}$ obtiene un número complejo.

la ecuación de arriba también es válida para todo ${displaystyle c}$ pero se obtiene un número complejo si ${ extstyle c<0!}$.

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

cuando ${displaystyle f}$ es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

con ${displaystyle psi (x)}$ siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de ${displaystyle Gamma (x)}$.

Supone que se requiere derivar con respetar a ${displaystyle x}$ la función

donde las funciones ${displaystyle f(x,t)}$ y ${displaystyle {frac {partial }{partial x}},f(x,t)}$ son ambas continuas en ${displaystyle t}$ y en ${displaystyle x}$ en alguna del plano ${displaystyle (t,x)}$, incluyendo ${displaystyle a(x)leq tleq b(x),}$ ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}}$ y las funciones ${displaystyle a(x)}$ y ${displaystyle b(x)}$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}}$ entonces para:${displaystyle ,x_{0}leq xleq x_{1}}$:

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Algunas reglas existen para calcular la ${displaystyle n}$-ésima derivada de una función, donde ${displaystyle n}$ es un entero positivo. Estas incluyen:

Si ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son ${displaystyle n}$ veces diferenciables entonces

donde ${displaystyle r=sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ y el conjunto ${displaystyle {k_{m}}}$ consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine ${displaystyle sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Si ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son ${displaystyle n}$ veces diferenciables entonces

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