Separación de variables

El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas.

El método sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales, dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones de los dos tipos.

Para ilustrar el método se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas con dos variables independientes y condiciones de frontera también homogéneas. En las siguientes secciones se discutirán los requerimientos y se discutirán casos más generales. La descripción del procedimiento en esta sección se hará simultáneamente para los tres tipos canónicos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas), especificando las condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) para cada caso.

El caso hiperbólico sería de la forma:

(1a)${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}=c^{2}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}},quad cin mathbb {R} ,xin [0,L];tin mathbb {R} ^{+},qquad qquad {egin{cases}u(0,t)+h_{1}u'_{x}(0,t)=0&{mbox{CF1}}\u(L,t)+h_{2}u'_{x}(L,t)=0&{mbox{CF2}}\u(x,0)=f_{1}(x); u'_{t}(x,0)=f_{2}(x)&{mbox{CI1; CI2}}end{cases}}}$

El caso parabólico sería de la forma:

(1b)${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=k{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}},quad kin mathbb {R} ,xin [0,L];tin mathbb {R} ^{+},qquad qquad {egin{cases}u(0,t)+h_{1}u'_{x}(0,t)=0&{mbox{CF1}}\u(L,t)+h_{2}u'_{x}(L,t)=0&{mbox{CF2}}\u(x,0)=f_{3}(x)&{mbox{CI1}}end{cases}}}$

Y el caso elíptico sería de la forma:

(1c)${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}=0,xin [0,a];yin [0,b],qquad qquad {egin{cases}u(0,y)+h_{1}u'_{x}(0,y)=0&{mbox{CF1}}\u(a,y)+h_{2}u'_{x}(a,y)=0&{mbox{CF2}}\u(x,0)=f_{4}(x); u(x,b)=f_{5}(x)&{mbox{CF3}}end{cases}}}$

El método de separación de variables consiste en buscar una solución que sea un producto de funciones dependientes cada una de una sola de las variables. Para los casos hiperbólico y parabólico se buscará una solución de la forma:

(2a,b)${displaystyle u(x,t)=M(x)N(t),}$

Y para el caso elíptico:

(2c)${displaystyle u(x,y)=M(x)N(y),}$

Sustituyendo u por esas expresiones en la ecuación diferencial correspondiente y reagrupando los términos se llega para el caso hiperbólico (CH), parabólico (CP) y elíptico (CE) a:

(3)${displaystyle {egin{cases}{cfrac {1}{c^{2}}}{cfrac {N''(t)}{N(t)}}={cfrac {M''(x)}{M(x)}}&{mbox{(CH)}}\{cfrac {1}{k}}{cfrac {N'(t)}{N(t)}}={cfrac {M''(x)}{M(x)}}&{mbox{(CP)}}\-{cfrac {N''(y)}{N(y)}}={cfrac {M''(x)}{M(x)}}&{mbox{(CE)}}end{cases}}}$

Puesto que cada uno de los dos miembros de estas expresiones depende de variables distintas y la igualdad debe darse para cualesquiera t, x, y, la única posibilidad es que cada uno de los miembros sea igual a una constante fija. Designando a esa constante como ${displaystyle scriptstyle -lambda }$ las expresiones anteriores pueden reescribirse como:

(4)${displaystyle M''(x)=-lambda M(x)quad ({mbox{CH,CP,CE}});qquad qquad {egin{cases}N''(t)+lambda c^{2}N(t)=0&{mbox{(CH)}}\N'(t)+klambda N(t)=0&{mbox{(CP)}}\N''(y)-lambda N(y)=0&{mbox{(CE)}}end{cases}}}$

Todo esto ha permitido pasar de una ecuación en derivadas parciales a dos ecuaciones ordinarias separadas para cada variable. Una vez reducido el problema a ecuaciones diferenciales ordinarias se exige que la función ${displaystyle scriptstyle M(x)}$ verifique las condiciones de frontera. De hecho si la solución ${displaystyle scriptstyle u=MN}$ verifica las condiciones de frontera homogéneas en la correspondiente variable, necesariamente ${displaystyle scriptstyle M(x)}$ la función las verificará ya que:

${displaystyle u(0,t)+h_{1}u'_{x}(0,t)=0Rightarrow forall tin mathbb {R} ^{+}:N(t)[M(0)+h_{1}M'(0)]=0Rightarrow M(0)+h_{1}M'(0)=0}$

y similarmente para el resto de condiciones. Esto no sucedería necesariamente en el caso de que las condiciones no fueran homogéneas. Por otra parte la función ${displaystyle scriptstyle M(x)}$ debe ser solución de un problema regular de Sturm-Liouville:

(5)${displaystyle M''(x)=lambda M(x),qquad {egin{cases}M(0)+h_{1}M'(0)=0\M(alpha )+h_{2}M'(alpha )=0end{cases}}}$

Donde:

La teoría de Sturm-Liouville demuestra que el problema anterior sólo tiene solución para un conjunto numerable de valores de ${displaystyle scriptstyle lambda }$ (autovalores del operador diferencial), éstos se denotarán como ${displaystyle scriptstyle lambda _{n}, nin mathbb {N} }$ y la autofunción (autovector) correspondiente se denotará como ${displaystyle scriptstyle M_{n}(x)}$. El requisito de numerabilidad es muy importante, ya que la solución particular completa, dado el carácter lineal de la ecuación original, permite escribir dicha solución como suma numerable. Dados los valores ${displaystyle scriptstyle lambda _{n}}$ puede resolverse la ecuación (4) para obtener las siguientes funciones para ${displaystyle scriptstyle N_{n}(cdot )}$, para los casos canónicos se tiene:

(6)${displaystyle {egin{cases}N_{n}(t)=a_{n}cos({sqrt {lambda _{n}}}t)+b_{n}sin({sqrt {lambda _{n}}}t)&{mbox{(CH)}}\N_{n}(t)=a_{n}e^{-klambda _{n}t}&{mbox{(CP)}}\N_{n}(y)=a_{n}e^{{sqrt {lambda _{n}}}y}+b_{n}e^{-{sqrt {lambda _{n}}}y}&{mbox{(CE)}}end{cases}}}$

Donde ${displaystyle scriptstyle a_{n}, b_{n}}$ son constantes arbitrarias que se determinarán posteriormente en función de las condiciones de frontera. La solución particular completa se puede expresar ahora como la siguiente serie:

(7)${displaystyle u=sum _{n=1}^{infty }u_{n}=sum _{n=1}^{infty }M_{n}N_{n}}$

El paso final es determinar las constantes ${displaystyle scriptstyle a_{n}, b_{n}}$ para que se cumplnas las condiciones iniciales. Para el caso hiperbólico se tiene:

(8a)${displaystyle {egin{cases}u(x,0)=sum _{n=1}^{infty }M_{n}(x)N_{n}(0)=sum _{n=1}^{infty }a_{n}M_{n}(x)=f_{1}(x)\u'_{t}(x,0)=sum _{n=1}^{infty }M_{n}(x)N'_{n}(0)=sum _{n=1}^{infty }c{sqrt {lambda _{n}}}b_{n}M_{n}(x)=f_{2}(x)end{cases}}}$

Es decir que los coeficientes coinciden con los coeficientes de Fourier n-ésimos generalizados de las funciones ${displaystyle scriptstyle f_{1}(x), f_{2}(x)}$, asociados a la base de autofunciones ${displaystyle scriptstyle M_{n}(x)}$, concretamente:

(9a)${displaystyle a_{n}=int _{0}^{L}f_{1}(x)M_{n}(x)dx;qquad b_{n}={frac {1}{c{sqrt {lambda _{n}}}}}int _{0}^{L}f_{2}(x)M_{n}(x)dx}$

Análogamente para el caso parabólico se tiene:

(8b)${displaystyle u(x,0)=sum _{n=1}^{infty }M_{n}(x)N_{n}(0)=sum _{n=1}^{infty }a_{n}M_{n}(x)=f_{3}(x)}$

(9b)${displaystyle a_{n}=int _{0}^{L}f_{3}(x)M_{n}(x)dx}$

Y para el caso elíptico se tiene:

(8c)${displaystyle {egin{cases}u(x,0)=sum _{n=1}^{infty }M_{n}(x)N_{n}(0)=sum _{n=1}^{infty }(a_{n}+b_{n})M_{n}(x)=f_{4}(x)\u(x,b)=sum _{n=1}^{infty }M_{n}(x)N_{n}(b)=sum _{n=1}^{infty }(a_{n}e^{b{sqrt {lambda _{n}}}}+b_{n}e^{-b{sqrt {lambda _{n}}}})M_{n}(x)=f_{5}(x)end{cases}}}$

(9b)${displaystyle a_{n}+b_{n}=int _{0}^{L}f_{4}(x)M_{n}(x)dx;qquad a_{n}e^{b{sqrt {lambda _{n}}}}+b_{n}e^{-b{sqrt {lambda _{n}}}}=int _{0}^{L}f_{5}(x)M_{n}(x)dx}$

La separación de variables para la coordenada radial lleva un problema de Sturm-Liouville cuyas soluciones vienen dadas en términos de las funciones de Bessel.

La separación de variables para las coordenadas angulares lleva un problema de Sturm-Liouville cuyas soluciones vienen dadas en términos de los armónicos esféricos. Mientras que la función separada que depende de la coordenada radial es solución de una ecuación diferencial de Euler-Cauchy que es fácilmente integrable porque puede ser reducida a una ecuación lineal de coeficientes constantes.

Algunas ecuaciones lineales en derivadas parciales no homogéneas del tipo:

${displaystyle {mathcal {L}}[u]=g}$

pueden ser resulta mediante separación de variables si la solución al problema se escribe mediante el principio de superposición como suma de dos funciones diferentes, cada una de las cuales es solución de un problema que puede ser resuelto por separación de variables:

${displaystyle u=u_{h}+u_{g};qquad {mathcal {L}}[u_{h}]=0, {mathcal {L}}[u_{g}]=g}$

Donde las condiciones iniciales para ${displaystyle scriptstyle u_{h}}$ son indénticas a las del problema original, mientras que las condiciones para ${displaystyle scriptstyle u_{g}}$ se toman como homogéneas. El procedimiento es similar al usado para convertir un problema de Dirichlet a un problema de Poisson y viceversa.

Para que una ecuación admita ser resuelta mediante separación de variables debe cumplir algunos requisitos especiales de forma, por ejemplo una ecuación de la forma:

(*)${displaystyle F(x,y){frac {dy}{dx}}+G(x,y)=0}$

Admite separación de variables si las funciones ${displaystyle scriptstyle F(cdot ),G(cdot )}$ son productos de funciones que sólo contienen a una de las dos variables, es decir son de la forma:

${displaystyle F(x,y)=f_{1}(x)g_{1}(y),quad G(x,y)=f_{2}(x)g_{2}(y)}$

En ese caso la solución general de la ecuación (*) es de la forma:

${displaystyle int {frac {g_{1}(y)}{g_{2}(y)}}dy+int {frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}dx=0}$

Xcas:^[1]​ split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

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