Sucesión de Padovan

La sucesión de Padovan es la secuencia de números enteros P(n) definida por los siguientes valores iniciales

y la siguiente relación de recurrencia

Los primeros valores de P(n) son

La sucesión de Padovan fue nombrada por el matemático Richard Padovan, quién atribuyó su descubrimiento al arquitecto holandés Hans van der Laan. En primera instancia fue descrita por el matemático Ian Stewart en su artículo Mathematical Recreations de la revista Scientific American en junio de 1996.

La sucesión de Padovan también satisface las siguientes relaciones:

Existe otra sucesión llamada Secuencia de Perrin que satisface las mismas relaciones recursivas con diferentes valores iniciales. Se puede obtener a partir de la de Padovan mediante la siguiente fórmula:

Las sucesión de Padovan se puede extender con valores negativos empleando la siguiente relación:

Esta extensión es parecida a la establecida para la Sucesión de Fibonacci con el mismo propósito:

Extendiendo P(n) a valores negativos se obtienen los siguientes valores:

La suma de los n primeros términos de la sucesión de Padovan es la misma que para la ${displaystyle P(n+5)}$, es decir:

La suma de términos alternativos, de términos separados en tres posiciones (uno de cada tres), o incluso cinco posiciones (uno de cada cinco), también tienen relaciones como las que siguen:

La suma de productos de términos de la sucesión de Padovan satisfacen las siguientes identidades:

La sucesión de Padovan también satisface la siguiente identidad:

Se puede relacionar con la suma de los coeficientes coeficientes binomiales como sigue:

Por ejemplo, para ${displaystyle k=12}$, los valores ${displaystyle (m,n)}$ con ${displaystyle 2m+n=12}$ que nos dan un coeficiente binomial distinto de cero son ${displaystyle (6,0)}$, ${displaystyle (5,2)}$ y ${displaystyle (4,4)}$, cumpliendo:

La sucesión de Padovan puede expresarse en términos de las potencias de las raíces de la ecuación

Esta ecuación tiene tres raíces; una raíz real ${displaystyle p}$ conocida como el número plástico y dos raíces complejas conjugadas ${displaystyle q}$ y ${displaystyle r}$. Con estas tres raíces podemos relacionarla con la sucesión de Fibonacci mediante la fórmula:

El módulo de las raíces ${displaystyle q}$ y ${displaystyle r}$ es menor que la unidad, por lo que si la elevamos a ${displaystyle n}$ cuando tiende a infinito, la potencia tiende a cero, y se llega a la siguiente expresión

siendo ${displaystyle s}$ la única raíz perteneciente a la recta real de ${displaystyle s^{3}-3s^{2}-23=0}$. Esta fórmula se puede utilizar para calcular rápidamente valores de la sucesión de Padovan para valores grandes de ${displaystyle n}$. La relación entre términos sucesivos tiende a ${displaystyle p}$, número plástico, que tiene un valor aproximado a 1.324718. También cumple con esta función en la sucesión de Perrin como o hace el número áureo en la sucesión de Fibonacci.

Los términos de la sucesión de Padovan pueden determinarse mediante la siguiente igualdad matricial:

${displaystyle {egin{pmatrix}0&1&0\0&0&1\1&1&0end{pmatrix}}^{(n+4)}={egin{pmatrix}P(n)&P(n+2)&P(n+1)\P(n+1)&P(n+3)&P(n+2)\P(n+2)&P(n+4)&P(n+3)end{pmatrix}}.}$

La función generadora de la secuencia de Padovan es:

Esta puede ser usada para probar identidades que impliquen productos de la secuencia de Padovan con términos geométricos, como:

En una manera similar a la cual se generan los números de Fibonacci mediante un conjunto de polinomios denominados los polinomios de Fibonacci, los números de la secuencia de Padovan pueden generalizarse para dar como resultado a los polinomios de Padovan.

Un primo de Padovan es ${displaystyle P(n)}$ tal que este es número primo. Los primeros primos de Padovan son:

Si definimos la siguiente gramática simple:

entonces este sistema de Lindenmayer o sistema-L produce la siguiente secuencia de cadenas:

y si contamos la longitud de cada cadena, obtenemos la secuencia de números de Padovan:

Del mismo modo, si se cuenta el número de As, Bs y Cs en cada cadena, entonces para la cadena n-ésima, se tiene ${displaystyle P(n-5)}$ As, ${displaystyle P(n-3)}$ Bs y ${displaystyle P(n-4)}$ Cs. El recuento de parejas BB, AA y CC también son números de Padovan.^[1]​

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