Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.^[1]​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$, ${displaystyle C}$ y ${displaystyle D}$ son números racionales.

Una forma modular es una función analítica ${displaystyle f:H ightarrow mathbb {C} }$ del semiplano superior

a los complejos ${displaystyle mathbb {C} }$, tal que ${displaystyle f}$ satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas ${displaystyle f(x)=f(x+N)}$ para todo ${displaystyle x}$ y algún entero ${displaystyle N}$ fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica ${displaystyle E}$ con coeficientes racionales existe una forma modular ${displaystyle f}$ (de peso 2) tal que la serie ${displaystyle L}$ asociada a ${displaystyle E}$ y la serie ${displaystyle L}$ asociada a ${displaystyle f}$ coinciden. Esto equivale a que los coeficientes ${displaystyle a_{p}}$ asociados a la curva ${displaystyle E}$ (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo ${displaystyle p}$, para ${displaystyle p}$ primo de buena reducción de ${displaystyle E}$) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de ${displaystyle f}$.

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.^[2]​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.^[3]​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.

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