Topología producto

Se llama topología producto a una topología construida sobre el producto cartesiano de espacios topológicos a partir de la topología de los factores. Fue introducida en 1930 por Tychonoff,^[1]​ como la topología menos fina que convierte a las proyecciones sobre cada factor en aplicaciones continuas.

Esta topología coincide en el caso de producto de un número finito de factores con otra quizás más obvia, llamada topología de cajas, introducida previamente por Tietze^[2]​en 1923. Pero la topología de cajas presenta propiedades indeseables para un producto de infinitos factores: entre otras, el producto de espacios conexos no es necesariamente conexo, ni el de compactos necesariamente compacto,^[3]​ cosas que sí suceden para la topología producto.

Por todo ello, se sobreentiende que en un producto cartesiano, salvo que se especifique lo contrario, se usa siempre la topología producto,

Sea ${displaystyle {X_{alpha },T_{alpha }}}$ una familia arbitraria (tal vez infinita) de espacios topológicos. Llamemos X a su producto cartesiano, i.e. ${displaystyle X=prod _{alpha in A}X_{alpha }}$ y ${displaystyle p_{alpha }:Xlongrightarrow X_{alpha }}$ a la proyección sobre el factor correspondiente.

Podemos dotar a X de la topología producto, que es aquella que tiene como una subbase a los conjuntos de la forma ${displaystyle {p_{alpha }^{-1}(U_{alpha })}}$ donde cada ${displaystyle U_{alpha }}$ es un abierto de ${displaystyle X_{alpha }}$. Esto es, la topología producto es la topología generada por los conjuntos de la forma ${displaystyle prod _{alpha in B}U_{alpha } imes prod _{alpha in Asetminus B}X_{alpha }}$, donde B es algún subconjunto finito de A, y ${displaystyle U_{alpha }}$ es abierto en ${displaystyle X_{alpha }}$ para cada ${displaystyle alpha in B}$.

La intersección finita de elementos de la subbase dará lugar a los elementos de la base, con distinto resultado según tratemos con un producto de un número finito o infinito de espacios

En este caso la topología producto será la que tiene por base las cajas abiertas, es decir, el producto cartesiano de abiertos ${displaystyle {prod _{alpha }U_{alpha }}}$

Aquí los abiertos básicos serán de la forma:

Esto condicionará la forma de los abiertos V de la topología producto: todo abierto debe verificar que ${displaystyle p_{alpha }(V)=X_{alpha }}$ para todos los índices salvo para un conjunto finito, pues debe contener un abierto básico que se proyecta de esta forma.