Transformación Box-Cox

Las transformaciones de Box y Cox son una familia de transformaciones potenciales usadas en estadística para corregir sesgos en la distribución de errores, para corregir varianzas desiguales (para diferentes valores de la variable predictora) y principalmente para corregir la no linealidad en la relación (mejorar correlación entre las variables). Esta transformación recibe el nombre de los estadísticos George E. P. Box y David Cox.

La transformación potencial está definida como una función continua que varía con respecto a la potencia lambda (${displaystyle lambda }$). Para los datos (Y₁,..., Y_n). se realiza la transformación ${displaystyle Y_{i}^{'}=Y_{i}^{lambda }}$ de la siguiente manera:^[1]​

${displaystyle Y_{i}^{(lambda )}={egin{cases}K_{1}(Y_{i}^{lambda }-1)&mathrm {si} lambda eq 0,\\K_{2}ln(Y_{i})&mathrm {si} lambda =0end{cases}}}$

K₂ es la media geométrica^[2]​ de los valores Y₁, ..., Y_n.

${displaystyle K_{2}={igg (}prod _{i=1}^{n}Y_{i}{igg )}^{1/n}=(Y_{1}cdot Y_{2}cdot dots cdot Y_{n})^{1/n}}$

y K₁ es un parámetro que depende de K₂ y de ${displaystyle lambda }$, así:

${displaystyle K_{1}={dfrac {1}{lambda cdot K_{2}^{lambda -1}}}}$

Para llevar a cabo una transformación potencial, dado un valor de lambda ${displaystyle lambda }$, se calcula primero la media geométrica de los valores Y₁ (K₂). Después se sustituye este valor para calcular el parámetro K₁.

Primero se deben seleccionar el rango de valores de lambda ${displaystyle lambda }$ de los cuales se quiere seleccionar el que logra que la transformación se acerque al máximo a los datos. Para cada valor de ${displaystyle lambda }$ se realiza la transformación del paso anterior. Finalmente se sustituyen los valores de la o las variables explicativas en las diferentes funciones y se calculan los cuadrados de los residuales estadísticos. Aquella que tenga el menor valor de la suma de residuales será la mejor opción. Note que K₂ es un valor fijo para todos los casos y que sólo hay que calcular de nuevo el valor K₁.

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