Transformaciones lineales

En matemáticas una aplicación lineal, es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta, álgebra lineal y análisis funcional una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales; que en el lenguaje de la teoría de categorías es un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales que actúa un cuerpo dado.

Se denomina aplicación lineal, función lineal, transformación lineal, u operador lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales, tal que satisfaga la siguiente definición:

Sean ${displaystyle V_{}^{}}$ y ${displaystyle W_{}^{}}$ espacios vectoriales sobre ${displaystyle K_{}^{}}$ (donde ${displaystyle K_{}^{}}$ representa el cuerpo) se satisface que:

Si ${displaystyle T:V ightarrow W}$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de ${displaystyle T_{}^{}}$ de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. ${displaystyle operatorname {null} (T)=operatorname {dim} (operatorname {ker} (T))}$

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de, al menos, un vector del dominio.

Si f₁: V → W y f₂: V → W son lineales, entonces también lo es su suma f₁ + f₂ (definida como (f₁ + f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)).

Si f : V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.

Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo al elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W). La dimensión de L(V,W) es igual al producto de las dimensiones de V y W.

Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su composición g∘f: V → Z también lo es.

Dado un espacio vectorial V, el espacio vectorial L(V,V), que se nota usualmente como End(V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad.

Si f: V → W es una transformación lineal biyectiva, entonces su inversa también es transformación lineal.

Como corolario básico de este teorema, obtenemos que una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita en sí mismo es un isomorfismo si y sólo si es un epimorfismo si y solo si es un monomorfismo.

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sean T:V→W una transformación lineal, B={v₁, ..., v_n} una base de V, C={w₁, ..., w_m} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(v_i) para cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C:

T(v₁)=a₁₁w₁+ ...+a_m1 w_m, ..., T(v_n)=a_1nw₁+ ...+a_mn w_m.

La matriz asociada se nota _C[T]_B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única.

Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u₁, ..., u_n existe y es única la transformación lineal que envía v_i en u_i. Por lo tanto, dada A cualquier matriz m × n, existe y es única la transformación lineal T:V→W tal que _C [T] _B=A.

Además, las matrices asociadas cumplen que _C [aT+bS] _B = a _C [T] _B + b _C [S] _B para cualquier a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y M_n×mC (K).

Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo entre álgebras.

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