Transporte paralelo

En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Un campo vectorial ${displaystyle X}$ sobre una curva diferenciable ${displaystyle gamma }$ se llama paralelo si

para cualquier t.

Sean M una variedad diferenciable con conexión ${displaystyle abla }$ y ${displaystyle gamma :Ilongrightarrow M}$ una curva suave. Sean ${displaystyle t_{0}in I}$ y ${displaystyle omega _{0}in T_{gamma (t_{0})}M}$. Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de ${displaystyle gamma }$ tal que ${displaystyle omega (t_{0})=omega _{0}}$. ${displaystyle omega }$ se llama transporte paralelo de ${displaystyle omega _{0}}$ a lo largo de ${displaystyle gamma }$.

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión ${displaystyle abla }$. Una curva diferenciable ${displaystyle gamma :Ilongrightarrow M}$ es una geodésica si ${displaystyle {dot {gamma }}}$ (como campo vectorial a lo largo de ${displaystyle gamma }$) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

Un campo vectorial ${displaystyle X}$ sobre M se denomina paralelo si

y geodésico si

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