Óvalo (geometría)

El término óvalo (del latín ovum, huevo) hace referencia a una forma geométrica convexa y redondeada, que se asemeja al perfil de un huevo de ave en su sentido más amplio.

Incluye a circunferencias y elipses como casos especiales, con dos ejes de simetría en lugar de solamente uno o ninguno.

El uso del término no siempre es consistente, en ocasiones también se usa de manera puramente descriptiva. Sin embargo, en el análisis matemático se puede definir formalmente como un tipo de curvas planas. En este contexto, también se habla de curvas o líneas ovaladas.

Un cuerpo convexo redondeado y tridimensional (generalmente un subconjunto convexo cerrado de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$) se conoce como ovoide.^[1]​ En este sentido, un óvalo con los puntos de su interior es entonces un ovoide de dos dimensiones.

En geometría proyectiva los términos curva ovalada y ovoide (sin atender a su diferenciabilidad) según sus condiciones de convexidad, se establecen utilizando exclusivamente condiciones de incidencia ("cada recta corta a un óvalo u ovoide en a lo sumo dos puntos"), en lo que se define como un conjunto cuadrático. En sentido proyectivo, un óvalo en el plano real requiere además la condición de que ningún punto de su contorno tenga curvatura nula. Tal óvalo es entonces el borde de un conjunto estrictamente convexo, porque no contiene segmentos rectilíneos.

La forma redondeada de un óvalo es la consecuencia de que una curva cerrada reúna las condiciones de suavidad y convexidad, de acuerdo con la siguiente definición:

Sin embargo, esta definición no abarca todas las figuras geométricas que a veces son denominadas óvalos. Por ejemplo, los óvalos compuestos por diferentes arcos circulares no cumplen esta definición, porque su segunda derivada no es continua en toda la curva. Si se desea contemplar también estos casos, entonces debe prescindirse de la condición de la suavidad de la curvatura (diferenciabilidad ${displaystyle C^{0}}$ o ${displaystyle C^{1}}$ en lugar de ${displaystyle C^{2}}$). En consecuencia, en algunos textos la definición de óvalo solo exige la condición de convexidad.^[5]​^[6]​ Sin embargo, esto tiene la desventaja de que la definición incluye entonces figuras que apenas son percibidos con forma de huevo, tales como los polígonos convexos.

Tal como se ha definido en el recuadro anterior, un óvalo tiene las siguientes propiedades:

Los óvalos se pueden construir usando métodos completamente diferentes. Se obtienen varios procedimientos de construcción a partir de diversas técnicas de diseño de la elipse conveniente modificadas.

Es sabido que se puede generar una elipse cortando un cono con un plano (véase sección cónica). Si en vez de un cono se utiliza otro cuerpo de revolución como un hiperboloide, de la intersección con un plano se obtienen diferentes óvalos. Una posibilidad adicional consiste en sustituir en la ecuación paramétrica (o en la ecuación algebraica) de una elipse, los parámetros constantes a y b (las longitudes de los semiejes) ${displaystyle (acdot cos(t),bcdot sin(t))}$ por las funciones ${displaystyle { frac {x^{2}}{a^{2}}}+{ frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

También se puede definir una elipse como el conjunto de puntos P, para los que la suma de las distancias a los dos focos F₁ y F₂ es ${displaystyle left(|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a ight)}$ constante. Si se reemplaza esta suma de las distancias por una suma ponderada ${displaystyle left(k_{1}cdot |F_{1}P|+k_{2}cdot |F_{2}P|=2a ight)}$, el conjunto de puntos forma un óvalo, que solo tiene un eje de simetría, en el que se sitúan un extremo romo y el otro puntiagudo. Tal óvalo coincide con la curva interior de un óvalo cartesiano.

El método de construcción de de La Hire crea una elipse usando dos circunferencias concéntricas. Si se desplaza un poco el centro del círculo exterior y se conservan los pasos restantes del proceso de construcción, se obtiene un (nuevo) óvalo, que posee un eje de simetría cuando se mueve el centro del círculo exterior en los ejes de la elipse. Si se mueve el centro fuera de los ejes, se crea un óvalo sin ejes de simetría.

Construcción con circunferencias concéntricas

Construcción con circunferencias excéntricas

Elipse: ${displaystyle |F_{1}P|+|F_{2}P|=22{,}84,}$

${displaystyle |F_{1}P|+{ extbf {1.43}}cdot |F_{2}P|=22{,}84}$

Elipse: ${displaystyle {frac {x^{2}}{4}}+{frac {y^{2}}{1}}=1}$

${displaystyle {frac {x^{2}}{4}}+{frac {y^{2}}{1-0{,}2cdot x}}=1}$

El conjunto de soluciones de una ecuación con dos incógnitas o ciertos de sus subconjuntos a menudo se pueden considerar como curvas en el plano. Una ecuación adecuada produce un óvalo. Si tal curva solución del sistema no es ovalada, pero tiene un bucle convexo, se puede crear un óvalo agregando un término de corrección al bucle.

Curva elíptica: ${displaystyle y^{2}=(x-1)cdot (x-2)cdot (x-3)}$

Superelipse: ${displaystyle left({frac {x}{2}} ight)^{4}+left({frac {y}{1}} ight)^{4}=1}$

Lemniscata: ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0,}$

Óvalo de Cassini: ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})+{ extbf {0,01}}=0}$

Curva de Szegö: ${displaystyle x^{2}+y^{2}=e^{2cdot x-2}}$

${displaystyle x^{2}+y^{2}+{ extbf {0,02}}=e^{2cdot x-2}}$

Folium de Descartes: ${displaystyle x^{3}+y^{3}=3cdot xcdot y}$

${displaystyle x^{3}+y^{3}+{ extbf {0,06}}=3cdot xcdot y}$

Los óvalos también pueden estar compuestos por arcos y segmentos. Sin embargo, dichos óvalos tienen menos suavidad que la requerida en la definición anterior, porque solo verifican ${displaystyle C^{1}}$ pero no ${displaystyle C^{2}}$. Aunque todavía son suaves en el sentido de una derivada constante, ya no tienen una curvatura continua. La curvatura es constante en las secciones, pero presenta un punto de discontinuidad en las uniones de los arcos circulares o de las secciones rectas.